Limite d'une suite : Soit \((u_n)\) une suite. On dit que \((u_n)\) tend vers \(L\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) si les termes de la suite se rapprochent de \(L\) autant que l'on veut.
- \(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0\)
- \(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0\) (pour \(k > 0\))
- \(\lim_{n \to +\infty} n^k = +\infty\) (pour \(k > 0\))
- \(\lim_{n \to +\infty} q^n = 0\) (si \(|q| < 1\))
\(u_n = \frac{1}{n}\) est une suite usuelle de la forme \(\frac{1}{n^k}\) avec \(k=1\).
On sait que \(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0\) pour \(k > 0\).
Donc \(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0\).
Les termes de la suite se rapprochent de 0 lorsque \(n\) devient très grand.
\(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0\)
• Suites usuelles : \(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0\) pour \(k > 0\)
• Reconnaissance : Identifier la forme de la suite pour appliquer la bonne propriété
• Interprétation : Comprendre ce que signifie la limite obtenue
Opérations sur les limites : Si \(\lim u_n = L\) et \(\lim v_n = L'\), alors \(\lim (u_n + v_n) = L + L'\), \(\lim (u_n \times v_n) = L \times L'\), etc.
\(u_n = 3 + \frac{1}{n}\) est la somme de deux suites : \(v_n = 3\) et \(w_n = \frac{1}{n}\).
\(\lim_{n \to +\infty} 3 = 3\) (suite constante)
\(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0\) (suite usuelle)
\(\lim_{n \to +\infty} (v_n + w_n) = \lim_{n \to +\infty} v_n + \lim_{n \to +\infty} w_n\)
\(\lim_{n \to +\infty} u_n = 3 + 0 = 3\)
\(\lim_{n \to +\infty} \left(3 + \frac{1}{n}\right) = 3\)
• Limite d'une constante : \(\lim c = c\)
• Limite d'une somme : \(\lim (u_n + v_n) = \lim u_n + \lim v_n\)
• Opérations : Appliquer les propriétés des opérations sur les limites
Théorème des gendarmes : Si \(v_n \leq u_n \leq w_n\) et que \(\lim v_n = \lim w_n = L\), alors \(\lim u_n = L\).
On sait que \(-1 \leq \sin(n) \leq 1\) pour tout \(n\).
Comme \(n > 0\), on divise l'encadrement par \(n\) : \(-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin(n)}{n} \leq \frac{1}{n}\).
\(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0\) et \(\lim_{n \to +\infty} \left(-\frac{1}{n}\right) = 0\).
Comme \(v_n = -\frac{1}{n} \leq u_n \leq \frac{1}{n} = w_n\) et que \(\lim v_n = \lim w_n = 0\), alors \(\lim u_n = 0\).
\(\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin(n)}{n} = 0\)
• Encadrement : Trouver des suites qui encadrent la suite à étudier
• Théorème des gendarmes : Si deux suites convergent vers la même limite et encadrent une troisième suite, celle-ci converge vers la même limite
• Utilisation : Ce théorème est utile pour les suites oscillantes
Théorème de comparaison : Si \(u_n \leq v_n\) à partir d'un certain rang et que \(\lim u_n = +\infty\), alors \(\lim v_n = +\infty\).
On sait que \(-1 \leq \cos(n) \leq 1\), donc \(n - 1 \leq n + \cos(n) \leq n + 1\).
On a \(u_n = n + \cos(n) \geq n - 1\).
\(\lim_{n \to +\infty} (n - 1) = +\infty\).
Comme \(u_n \geq n - 1\) et que \(\lim_{n \to +\infty} (n - 1) = +\infty\), alors \(\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).
\(\lim_{n \to +\infty} (n + \cos(n)) = +\infty\)
• Minorant ou majorant : Trouver une suite qui minore ou majore la suite à étudier
• Théorème de comparaison : Si une suite est minorée par une suite qui tend vers \(+\infty\), elle tend aussi vers \(+\infty\)
• Utilisation : Ce théorème est utile pour prouver la divergence vers l'infini
Convergence : Une suite converge si elle admet une limite finie, diverge sinon.
\(u_n = \frac{n^2 + 3n}{2n^2 + 1}\) est une suite rationnelle (quotient de polynômes).
On factorise numérateur et dénominateur par \(n^2\) (le terme de plus haut degré) :
\(u_n = \frac{n^2(1 + \frac{3}{n})}{n^2(2 + \frac{1}{n^2})} = \frac{1 + \frac{3}{n}}{2 + \frac{1}{n^2}}\)
\(\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{3}{n}\right) = 1 + 0 = 1\)
\(\lim_{n \to +\infty} \left(2 + \frac{1}{n^2}\right) = 2 + 0 = 2\)
\(\lim_{n \to +\infty} \frac{1 + \frac{3}{n}}{2 + \frac{1}{n^2}} = \frac{\lim \left(1 + \frac{3}{n}\right)}{\lim \left(2 + \frac{1}{n^2}\right)} = \frac{1}{2}\)
\(\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 3n}{2n^2 + 1} = \frac{1}{2}\)
• Suites rationnelles : Factoriser par le terme de plus haut degré
• Limite d'un quotient : \(\lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{\lim u_n}{\lim v_n}\) si \(\lim v_n \neq 0\)
• Convergence : La suite converge vers \(\frac{1}{2}\) car la limite est finie
- Suites usuelles : Apprendre les limites de base
- Opérations : Appliquer les propriétés de somme, produit, quotient
- Théorème des gendarmes : Pour les suites encadrées
- Théorème de comparaison : Pour les suites minorées ou majorées
- Factorisation : Pour les suites rationnelles
- Les suites usuelles servent de base pour tous les calculs de limites
- Les opérations sur les limites ne sont valables que si les limites existent
- Le théorème des gendarmes s'applique aux suites encadrées par deux suites convergentes vers la même limite
- Le théorème de comparaison permet de prouver la divergence vers l'infini
- Une suite peut converger ou diverger vers l'infini ou osciller sans limite
