Définition et Notation
\( \lim_{n \to +\infty} u_n = L \)
La suite (un) converge vers L
Définition :
Une suite (un) admet une limite L si, pour tout intervalle ouvert contenant L, il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à cet intervalle.
Cas possibles :
• Convergence vers un réel L
• Divergence vers +∞ ou -∞
• Divergence sans limite
• Divergence vers +∞ ou -∞
• Divergence sans limite
Théorèmes Fondamentaux
Unicité de la limite
Convergence monotone
Opérations sur les limites
Comparaison de suites
Formules élémentaires
\( \lim_{n \to +\infty} k = k \) (constante)
\( \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 \)
\( \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0 \) (k > 0)
\( \lim_{n \to +\infty} n^k = +\infty \) (k > 0)
Cas des suites usuelles
Suites arithmétiques :
Si r > 0, lim = +∞ ; si r < 0, lim = -∞ ; si r = 0, lim = u₀
Suites géométriques :
Si |q| < 1, lim = 0 ; si q = 1, lim = u₀ ; si q > 1, lim = ±∞
Conseils & Astuces
Identifier d'abord le type de suite avant de chercher la limite
Factoriser les expressions pour lever les formes indéterminées
Utiliser les théorèmes de comparaison quand les opérations ne suffisent pas
Vérifier la cohérence du résultat avec le comportement de la suite
Représenter graphiquement pour anticiper le comportement
Exemples Concrets
Exemple 1 :
\( \lim_{n \to +\infty} \frac{2n+1}{n} = \lim_{n \to +\infty} (2+\frac{1}{n}) = 2 \)
Exemple 2 :
\( \lim_{n \to +\infty} \frac{3}{n^2} = 0 \) (théorème des gendarmes)
Exemple 3 :
\( \lim_{n \to +\infty} 2 \cdot (0.5)^n = 0 \) car |0.5| < 1
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Appliquer les opérations sans vérifier l'existence des limites
Erreur 2 :
Oublier de lever les formes indéterminées
Erreur 3 :
Confondre convergence et divergence
