Définition et Formule
\( u_{n+1} = u_n \cdot q \) ou \( u_n = u_0 \cdot q^n \)
Relation de récurrence et formule explicite
Définition :
Une suite géométrique est une suite de nombres où chaque terme s'obtient en multipliant le terme précédent par une constante q (appelée raison).
Terme général :
\( u_n = u_p \cdot q^{n-p} \) avec p ≤ n
Propriétés Essentielles
Variations selon la raison
Représentation exponentielle
Somme des termes consécutifs
Moyenne géométrique
Formules de calcul
Terme général: \( u_n = u_0 \cdot q^n \)
Somme: \( S_n = u_0 \cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \) (si q ≠ 1)
Moyenne: \( u_k^2 = u_{k-1} \cdot u_{k+1} \)
Critères de reconnaissance
Rapport constant :
Si \( \frac{u_{n+1}}{u_n} = q \) (constante), alors (un) est géométrique
Forme exponentielle :
Si \( u_n = a \cdot b^n \), alors (un) est géométrique de raison b
Conseils & Astuces
Calculer le quotient entre deux termes consécutifs pour trouver la raison
Utiliser la formule du terme général pour des indices élevés
Vérifier que la raison est non nulle et différente de 0
Attention au cas particulier q = 1 (suite constante)
Représenter graphiquement en échelle logarithmique pour visualiser la linéarité
Exemples Concrets
Exemple 1 :
\( u_n = 2 \cdot 3^n \) → suite géométrique de raison q = 3 et premier terme u₀ = 2
Exemple 2 :
Soit (un) géométrique avec u₂ = 12 et u₄ = 108. Alors q² = 108/12 = 9, donc q = 3
Exemple 3 :
Somme des 5 premiers termes de uₙ = 2·3ⁿ : S₅ = 2·(3⁶-1)/(3-1) = 728
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Confondre la formule du terme général avec celle de la somme
Erreur 2 :
Oublier de vérifier que q ≠ 1 dans la formule de somme
Erreur 3 :
Confondre suite géométrique et suite arithmétique
