Suite géométrique : Suite \((u_n)\) telle que pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = u_n \times q\), où \(q\) est la raison de la suite.
- Calculer le quotient entre deux termes consécutifs
- Vérifier que ce quotient est constant
- Si oui, la suite est géométrique
- La constante est la raison \(q\)
\(\frac{u_1}{u_0} = \frac{6}{2} = 3\)
\(\frac{u_2}{u_1} = \frac{18}{6} = 3\)
\(\frac{u_3}{u_2} = \frac{54}{18} = 3\)
Le quotient est constant (\(q = 3\)), donc la suite est géométrique.
La suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q = 3\).
• Constante : Si \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) est constant, la suite est géométrique
• Raison : Ce constant est la raison \(q\) de la suite
• Relation de récurrence : \(u_{n+1} = u_n \times q\)
Formule générale : Pour une suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\), on a : \(u_n = u_0 \times q^n\).
\(u_n = u_0 \times q^n\)
\(u_4 = 2 \times 3^4\)
\(u_4 = 2 \times 81 = 162\)
On peut vérifier : \(u_1 = 6, u_2 = 18, u_3 = 54, u_4 = 162\)
\(u_4 = 162\)
• Formule générale : \(u_n = u_0 \times q^n\) pour une suite géométrique
• Substitution : Remplacer \(u_0\), \(n\) et \(q\) par leurs valeurs
• Calcul : Effectuer les opérations dans l'ordre correct
Relation entre deux termes : Pour une suite géométrique, \(u_p = u_q \times q^{p-q}\), donc \(q = \sqrt[p-q]{\frac{u_p}{u_q}}\).
On a \(u_2 = 18\) et \(u_5 = 486\), donc \(q = 2\) et \(p = 5\).
\(u_p = u_q \times q^{p-q} \Rightarrow u_5 = u_2 \times q^{5-2} = u_2 \times q^3\)
\(q^3 = \frac{u_5}{u_2} = \frac{486}{18} = 27\)
\(q = \sqrt[3]{27} = 3\)
\(q = 3\)
• Relation entre deux termes : \(u_p = u_q \times q^{p-q}\)
• Formule de la raison : \(q^{p-q} = \frac{u_p}{u_q}\)
• Calcul : Substituer les valeurs connues dans la formule
Somme des termes : Pour une suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q \neq 1\), la somme des \(n+1\) premiers termes est : \(S_n = u_0 \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\).
\(S_4 = 2 \times \frac{1-3^{4+1}}{1-3} = 2 \times \frac{1-3^5}{-2}\)
\(3^5 = 243\)
\(S_4 = 2 \times \frac{1-243}{-2} = 2 \times \frac{-242}{-2} = 2 \times 121 = 242\)
\(u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4 = 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242\) ✓
\(S_4 = 242\)
• Somme des termes : \(S_n = u_0 \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\) si \(q \neq 1\)
• Nombre de termes : Il y a \(n+1\) termes de \(u_0\) à \(u_n\)
• Calcul : Substituer les valeurs dans la formule
Application : Les suites géométriques modélisent des phénomènes où une grandeur est multipliée par un même facteur à chaque étape.
Le nombre de bactéries forme une suite géométrique : \(u_0 = 100\), \(q = 2\).
\(u_0 = 100\), \(q = 2\), \(n = 5\) (car on veut le nombre après 5 heures).
\(u_5 = u_0 \times q^5 = 100 \times 2^5 = 100 \times 32 = 3200\)
\(S_5 = u_0 \frac{1-q^{5+1}}{1-q} = 100 \times \frac{1-2^6}{1-2} = 100 \times \frac{1-64}{-1} = 100 \times 63 = 6300\)
Après 5 heures, il y aura 3200 bactéries, et le total cumulé depuis le début sera de 6300 bactéries.
• Modélisation : Identifier le phénomène comme une suite géométrique
• Données : Déterminer \(u_0\) et \(q\) à partir du problème
• Application : Utiliser les formules de suite géométrique pour résoudre
- Reconnaissance : Vérifier que \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) est constant
- Calcul de termes : Utiliser \(u_n = u_0 \times q^n\)
- Calcul de la raison : \(q = \sqrt[p-q]{\frac{u_p}{u_q}}\)
- Calcul de somme : \(S_n = u_0 \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\) (si \(q \neq 1\))
- Une suite géométrique a une multiplication constante entre deux termes consécutifs
- La raison \(q\) peut être positive, négative, supérieure ou inférieure à 1
- La formule générale permet de calculer n'importe quel terme sans passer par les précédents
- La somme des termes d'une suite géométrique se calcule avec une formule spécifique
- Les suites géométriques modélisent des phénomènes à croissance exponentielle
