Suite arithmétique : Suite \((u_n)\) telle que pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = u_n + r\), où \(r\) est la raison de la suite.
- Calculer la différence entre deux termes consécutifs
- Vérifier que cette différence est constante
- Si oui, la suite est arithmétique
- La constante est la raison \(r\)
\(u_1 - u_0 = 5 - 2 = 3\)
\(u_2 - u_1 = 8 - 5 = 3\)
\(u_3 - u_2 = 11 - 8 = 3\)
La différence est constante (\(r = 3\)), donc la suite est arithmétique.
La suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r = 3\).
• Constante : Si \(u_{n+1} - u_n\) est constant, la suite est arithmétique
• Raison : Ce constant est la raison \(r\) de la suite
• Relation de récurrence : \(u_{n+1} = u_n + r\)
Formule générale : Pour une suite arithmétique de premier terme \(u_0\) et de raison \(r\), on a : \(u_n = u_0 + nr\).
\(u_n = u_0 + nr\)
\(u_5 = 2 + 5 \times 3\)
\(u_5 = 2 + 15 = 17\)
On peut vérifier : \(u_1 = 5, u_2 = 8, u_3 = 11, u_4 = 14, u_5 = 17\)
\(u_5 = 17\)
• Formule générale : \(u_n = u_0 + nr\) pour une suite arithmétique
• Substitution : Remplacer \(u_0\), \(n\) et \(r\) par leurs valeurs
• Calcul : Effectuer les opérations dans l'ordre correct
Relation entre deux termes : Pour une suite arithmétique, \(u_p = u_q + (p-q)r\), donc \(r = \frac{u_p - u_q}{p-q}\).
On a \(u_3 = 11\) et \(u_7 = 23\), donc \(q = 3\) et \(p = 7\).
\(r = \frac{u_p - u_q}{p-q} = \frac{u_7 - u_3}{7-3}\)
\(r = \frac{23 - 11}{7 - 3} = \frac{12}{4}\)
\(r = 3\)
\(r = 3\)
• Relation entre deux termes : \(u_p = u_q + (p-q)r\)
• Formule de la raison : \(r = \frac{u_p - u_q}{p-q}\)
• Calcul : Substituer les valeurs connues dans la formule
Somme des termes : Pour une suite arithmétique, la somme des \(n+1\) premiers termes est : \(S_n = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}\).
\(u_5 = u_0 + 5r = 2 + 5 \times 3 = 17\)
\(S_5 = \frac{(5+1)(u_0 + u_5)}{2} = \frac{6(2 + 17)}{2}\)
\(S_5 = \frac{6 \times 19}{2} = \frac{114}{2} = 57\)
\(u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 57\) ✓
\(S_5 = 57\)
• Somme des termes : \(S_n = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}\)
• Nombre de termes : Il y a \(n+1\) termes de \(u_0\) à \(u_n\)
• Calcul : Substituer les valeurs dans la formule
Application : Les suites arithmétiques modélisent des phénomènes où une grandeur augmente ou diminue régulièrement.
Le montant épargné chaque mois forme une suite arithmétique : \(u_0 = 100\), \(r = 20\).
\(u_0 = 100\), \(r = 20\), \(n = 11\) (car on veut le total sur 12 mois, de \(u_0\) à \(u_{11}\)).
\(u_{11} = u_0 + 11r = 100 + 11 \times 20 = 100 + 220 = 320\)
\(S_{11} = \frac{(11+1)(u_0 + u_{11})}{2} = \frac{12(100 + 320)}{2} = \frac{12 \times 420}{2} = \frac{5040}{2} = 2520\)
Après 12 mois, le total épargné sera de 2520€.
• Modélisation : Identifier le phénomène comme une suite arithmétique
• Données : Déterminer \(u_0\) et \(r\) à partir du problème
• Application : Utiliser les formules de suite arithmétique pour résoudre
- Reconnaissance : Vérifier que \(u_{n+1} - u_n\) est constant
- Calcul de termes : Utiliser \(u_n = u_0 + nr\)
- Calcul de la raison : \(r = \frac{u_p - u_q}{p-q}\)
- Calcul de somme : \(S_n = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}\)
- Une suite arithmétique a une variation constante entre deux termes consécutifs
- La raison \(r\) peut être positive, négative ou nulle
- La formule générale permet de calculer n'importe quel terme sans passer par les précédents
- La somme des termes d'une suite arithmétique se calcule avec une formule spécifique
- Les suites arithmétiques modélisent des phénomènes à croissance linéaire
