Suite : Une suite numérique est une fonction de \(\mathbb{N}\) (ou une partie de \(\mathbb{N}\)) vers \(\mathbb{R}\). On la note \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\).
- Identifier la formule générale de la suite
- Remplacer \(n\) par les valeurs demandées
- Effectuer les calculs pour obtenir les termes
- Présenter les résultats dans l'ordre
\(u_0 = 2 \times 0 + 1 = 0 + 1 = 1\)
\(u_1 = 2 \times 1 + 1 = 2 + 1 = 3\)
\(u_2 = 2 \times 2 + 1 = 4 + 1 = 5\)
\(u_3 = 2 \times 3 + 1 = 6 + 1 = 7\)
\(u_0 = 1, u_1 = 3, u_2 = 5, u_3 = 7\)
• Substitution : Remplacer \(n\) par la valeur demandée dans la formule
• Calcul : Effectuer les opérations dans l'ordre correct
• Ordre : Présenter les termes dans l'ordre croissant des indices
Suite des carrés : Suite dont le terme général est \(u_n = n^2\), où chaque terme est le carré de son indice.
\(u_0 = 0^2 = 0\)
\(u_1 = 1^2 = 1\)
\(u_2 = 2^2 = 4\)
\(u_3 = 3^2 = 9\)
\(u_4 = 4^2 = 16\)
\(u_0 = 0, u_1 = 1, u_2 = 4, u_3 = 9, u_4 = 16\)
• Calcul des puissances : \(n^2 = n \times n\)
• Ordre : Présenter les termes dans l'ordre croissant
• Précision : Effectuer les calculs avec soin
Suite rationnelle : Suite dont le terme général est une fraction rationnelle en fonction de \(n\).
\(u_0 = \frac{1}{0+1} = \frac{1}{1} = 1\)
\(u_1 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}\)
\(u_2 = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}\)
\(u_3 = \frac{1}{3+1} = \frac{1}{4}\)
\(u_0 = 1, u_1 = \frac{1}{2}, u_2 = \frac{1}{3}, u_3 = \frac{1}{4}\)
• Substitution : Remplacer \(n\) par la valeur demandée
• Calcul des fractions : Effectuer les divisions exactes
• Domaine de définition : Vérifier que le dénominateur n'est pas nul
Reconnaissance de suite : Processus qui consiste à trouver la formule générale d'une suite à partir de ses premiers termes.
On remarque que les termes sont impairs consécutifs : 1, 3, 5, 7, 9, ...
On observe que : \(u_0 = 1 = 2 \times 0 + 1\), \(u_1 = 3 = 2 \times 1 + 1\), \(u_2 = 5 = 2 \times 2 + 1\), etc.
On en déduit que le terme général est \(u_n = 2n + 1\).
On vérifie avec quelques valeurs : \(u_3 = 2 \times 3 + 1 = 7\) ✓, \(u_4 = 2 \times 4 + 1 = 9\) ✓
\(u_n = 2n + 1\)
• Observation : Repérer des motifs dans les termes donnés
• Logique : Chercher une relation entre l'indice et la valeur
• Vérification : Tester la formule trouvée avec d'autres termes
Suite infinie : Suite dont les termes sont indexés par tous les entiers naturels : \(u_0, u_1, u_2, \ldots, u_n, \ldots\)
Une suite infinie a un terme pour chaque entier naturel : \(u_0, u_1, u_2, u_3, \ldots\)
On note la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ou simplement \((u_n)\).
Une suite finie n'a qu'un nombre limité de termes, alors qu'une suite infinie continue indéfiniment.
\((u_n)_{n \in \mathbb{N}} = u_0, u_1, u_2, u_3, \ldots\)
• Indexation : Les termes sont indexés par des entiers naturels
• Notation : Utiliser la notation \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) pour les suites infinies
• Concept : Comprendre qu'une suite infinie continue indéfiniment
- Calcul de termes : Remplacer \(n\) par la valeur demandée dans la formule
- Reconnaissance : Observer les premiers termes pour trouver la formule
- Vérification : Tester la formule trouvée avec d'autres valeurs
- Domaine de définition : S'assurer que la formule est valide pour les indices concernés
- Le terme général \(u_n\) dépend de l'entier \(n\) (son indice)
- Une suite est infinie si elle est définie pour tous les entiers naturels
- Le premier terme est souvent \(u_0\) mais peut être \(u_1\) selon le contexte
- Il est important de distinguer le rang \(n\) et la valeur du terme \(u_n\)
- La suite est définie par son terme général ou par récurrence
