Définition et Formule
\( ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)^2 + \beta \)
avec \( \alpha = -\frac{b}{2a} \) et \( \beta = f(\alpha) \)
Définition :
La forme canonique d'un polynôme du second degré \( f(x) = ax^2 + bx + c \) est l'expression \( f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta \) où \( \alpha \) et \( \beta \) sont des réels.
Interprétation :
Le couple \( (\alpha, \beta) \) représente les coordonnées du sommet de la parabole.
Méthode de Transformation
Factoriser par a
Identifier le début d'identité remarquable
Ajouter et soustraire le terme manquant
Réduire l'expression
Formules essentielles
\( \alpha = -\frac{b}{2a} \)
\( \beta = f(\alpha) = c - \frac{b^2}{4a} \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \Rightarrow \beta = \frac{-\Delta}{4a} \)
Utilité de la forme canonique
Étude des variations :
Permet d'identifier immédiatement le sens de variation et l'extremum
Résolution d'équations :
Facilite la résolution des équations du second degré
Conseils & Astuces
Retenir que α est toujours l'abscisse du sommet
Vérifier toujours la transformation en développant
La forme canonique révèle immédiatement le signe de f(x)
L'axe de symétrie est la droite x = α
Très utile pour résoudre des problèmes d'optimisation
Exemples Concrets
Exemple 1 :
\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)
\( = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 = (x-2)^2 - 1 \)
\( = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 = (x-2)^2 - 1 \)
Exemple 2 :
\( f(x) = 2x^2 + 8x - 5 \)
\( = 2(x^2 + 4x) - 5 = 2((x+2)^2 - 4) - 5 = 2(x+2)^2 - 13 \)
\( = 2(x^2 + 4x) - 5 = 2((x+2)^2 - 4) - 5 = 2(x+2)^2 - 13 \)
Exemple 3 :
\( f(x) = -x^2 + 2x + 3 \)
\( = -(x^2 - 2x) + 3 = -((x-1)^2 - 1) + 3 = -(x-1)^2 + 4 \)
\( = -(x^2 - 2x) + 3 = -((x-1)^2 - 1) + 3 = -(x-1)^2 + 4 \)
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Oublier de factoriser par le coefficient a
Erreur 2 :
Se tromper dans le signe de α
Erreur 3 :
Confondre les formules de α et β
