Équation et Discriminant
\( ax^2 + bx + c = 0 \) avec \( \Delta = b^2 - 4ac \)
Discriminant d'une équation du second degré
Définition :
Une équation du second degré est une équation de la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \) où a, b et c sont des réels avec a ≠ 0.
Discriminant :
Le discriminant Δ permet de déterminer le nombre et la nature des solutions de l'équation.
Cas de Résolution
Δ > 0 : 2 solutions distinctes
Δ = 0 : 1 solution double
Δ < 0 : 0 solution réelle
Forme factorisée possible
Formules de résolution
Δ > 0 : \( x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \)
Δ = 0 : \( x_0 = \frac{-b}{2a} \)
Δ < 0 : Pas de solution réelle
Forme factorisée
Si Δ ≥ 0 :
\( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \) avec \( x_1 \) et \( x_2 \) solutions
Si Δ = 0 :
\( ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2 \) avec \( x_0 \) solution double
Conseils & Astuces
Calculer toujours le discriminant en premier
Vérifier les solutions en les remplaçant dans l'équation initiale
Simplifier les fractions obtenues si possible
Attention au signe de a dans la formule
La somme des racines vaut -b/a et leur produit c/a
Exemples Concrets
Exemple 1 (Δ > 0) :
\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
Δ = 25 - 24 = 1 > 0, donc \( x_1 = 2, x_2 = 3 \)
Δ = 25 - 24 = 1 > 0, donc \( x_1 = 2, x_2 = 3 \)
Exemple 2 (Δ = 0) :
\( x^2 - 4x + 4 = 0 \)
Δ = 16 - 16 = 0, donc \( x_0 = 2 \) (solution double)
Δ = 16 - 16 = 0, donc \( x_0 = 2 \) (solution double)
Exemple 3 (Δ < 0) :
\( x^2 + x + 1 = 0 \)
Δ = 1 - 4 = -3 < 0, donc pas de solution réelle
Δ = 1 - 4 = -3 < 0, donc pas de solution réelle
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Oublier de vérifier que a ≠ 0 avant d'appliquer les formules
Erreur 2 :
Se tromper dans le calcul du discriminant (oublier le signe -)
Erreur 3 :
Donner des solutions réelles quand Δ < 0
