Fonction quadratique : Une fonction polynôme de degré 2 de la forme \(f(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\). Sa représentation graphique est une parabole.
- Déterminer le sommet de la parabole
- Tracer l'axe de symétrie
- Calculer quelques points pour compléter le tracé
- Dessiner la parabole
Pour \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), on a \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\)
\(x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{(-4)}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2\)
\(y_S = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\)
L'axe de symétrie est la droite d'équation \(x = 2\)
\(f(0) = 3\), \(f(1) = 0\), \(f(2) = -1\), \(f(3) = 0\), \(f(4) = 3\)
La parabole de \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) a pour sommet S(2, -1), son axe de symétrie est x = 2, et elle est orientée vers le haut.
• Sommet : \(S\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\)
• Ouverture : Si \(a > 0\) alors la parabole est tournée vers le haut, si \(a < 0\) vers le bas
• Axe de symétrie : Ligne verticale passant par le sommet
Sommet d'une parabole : Point le plus bas (si \(a > 0\)) ou le plus haut (si \(a < 0\)) de la parabole. C'est le point où la fonction atteint son extremum.
Pour \(f(x) = -2x^2 + 8x - 6\), on a \(a = -2\), \(b = 8\), \(c = -6\)
\(x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \times (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2\)
\(y_S = f(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 6 = -8 + 16 - 6 = 2\)
Le sommet est S(2, 2). Puisque \(a = -2 < 0\), la parabole est tournée vers le bas et le sommet est un maximum.
Le sommet de la parabole de \(f(x) = -2x^2 + 8x - 6\) est S(2, 2), qui est un maximum de la fonction.
• Sommet : \(S\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\)
• Nature du sommet : Maximum si \(a < 0\), minimum si \(a > 0\)
• Calcul : Remplacer \(x_S\) dans l'expression de la fonction
Variations d'une fonction quadratique : Toute fonction quadratique est monotone sur chaque intervalle séparé par l'abscisse du sommet. Elle admet un extremum au sommet.
Pour \(f(x) = x^2 + 2x - 8\), on a \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -8\)
\(x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \times 1} = -1\)
Puisque \(a = 1 > 0\), la parabole est tournée vers le haut, donc :
- La fonction est décroissante sur \(\left]-\infty; -1\right]\)
- La fonction est croissante sur \(\left[-1; +\infty\right[\)
\(y_S = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9\)
La fonction \(f(x) = x^2 + 2x - 8\) est décroissante sur \(\left]-\infty; -1\right]\) et croissante sur \(\left[-1; +\infty\right[\). Elle admet un minimum en x = -1.
• Sens de variation : Dépend du signe de \(a\)
• Point critique : L'abscisse du sommet est le point de changement de variation
• Nature de l'extremum : Minimum si \(a > 0\), maximum si \(a < 0\)
Points d'intersection avec l'axe des abscisses : Ce sont les solutions de l'équation \(f(x) = 0\). Pour une fonction quadratique, il peut y avoir 0, 1 ou 2 points d'intersection.
\(f(x) = x^2 - 2x - 3 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\)
\(\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\)
\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1\)
\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3\)
Les points d'intersection sont (-1, 0) et (3, 0)
La parabole de \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) coupe l'axe des abscisses aux points (-1, 0) et (3, 0).
• Intersection avec (Ox) : Solutions de \(f(x) = 0\)
• Discriminant : \(\Delta = b^2 - 4ac\) détermine le nombre de solutions
• Formule des racines : \(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)
Positions relatives de deux courbes : On étudie le signe de la différence \(f(x) - g(x)\) pour déterminer laquelle est au-dessus de l'autre.
\(f(x) = x^2\) et \(g(x) = -x^2 + 4x\)
\(f(x) - g(x) = x^2 - (-x^2 + 4x) = x^2 + x^2 - 4x = 2x^2 - 4x\)
\(2x^2 - 4x = 2x(x - 2)\)
\(2x(x - 2) = 0\) lorsque \(x = 0\) ou \(x = 2\)
Pour \(x < 0\): \(2x < 0\) et \((x-2) < 0\), donc \(2x(x-2) > 0\) → \(f(x) > g(x)\)
Pour \(0 < x < 2\): \(2x > 0\) et \((x-2) < 0\), donc \(2x(x-2) < 0\) → \(f(x) < g(x)\)
Pour \(x > 2\): \(2x > 0\) et \((x-2) > 0\), donc \(2x(x-2) > 0\) → \(f(x) > g(x)\)
La parabole de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\) sur \(\left]-\infty; 0\right[ \cup \left]2; +\infty\right[\)
La parabole de \(f\) est en dessous de celle de \(g\) sur \(\left]0; 2\right[\)
La parabole de \(f(x) = x^2\) est au-dessus de celle de \(g(x) = -x^2 + 4x\) sur \(\left]-\infty; 0\right[ \cup \left]2; +\infty\right[\) et en dessous sur \(\left[0; 2\right]\).
• Position relative : Étudier le signe de \(f(x) - g(x)\)
• Résolution d'inéquation : Factoriser puis dresser un tableau de signes
• Interprétation : \(f(x) > g(x)\) signifie que la courbe de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\)
- Déterminer le sommet : \(S\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\)
- Axe de symétrie : \(x = -\frac{b}{2a}\)
- Variations : Selon le signe de a (min/max)
- Intersection avec Ox : Résoudre \(f(x) = 0\)
- Intersection avec Oy : Calculer \(f(0)\)
- Si \(a > 0\), la parabole est tournée vers le haut et admet un minimum
- Si \(a < 0\), la parabole est tournée vers le bas et admet un maximum
- L'axe de symétrie passe toujours par le sommet
- Une fonction quadratique a au maximum 2 racines réelles
- Le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) détermine le nombre de racines
