Un rectangle a un périmètre de 20 mètres. On souhaite trouver ses dimensions pour que son aire soit maximale.
- Identifier les variables et contraintes
- Exprimer l'aire en fonction d'une seule variable
- Reconnaître une fonction quadratique
- Trouver le maximum
Soit \(x\) la longueur et \(y\) la largeur du rectangle. On a : \(2x + 2y = 20\)
Donc : \(y = 10 - x\)
\(A = xy = x(10 - x) = 10x - x^2\)
\(A(x) = -x^2 + 10x\)
C'est une fonction quadratique avec \(a = -1\), \(b = 10\), \(c = 0\)
L'abscisse du sommet est : \(x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2(-1)} = 5\)
\(y = 10 - 5 = 5\)
\(A_{max} = 5 \times 5 = 25\) m²
Le rectangle d'aire maximale est un carré de côté 5 mètres, ce qui donne une aire de 25 mètres carrés.
• Modélisation : Traduire les contraintes en équations
• Fonction quadratique : Reconnaître la forme pour trouver l'extremum
• Optimisation : Le maximum est atteint au sommet de la parabole
Un ballon est lancé du sol avec une hauteur initiale de 0 mètre. Sa trajectoire est modélisée par \(h(t) = -5t^2 + 20t\), où \(h\) est la hauteur en mètres et \(t\) le temps en secondes.
\(h(t) = -5t^2 + 20t\) avec \(a = -5\), \(b = 20\), \(c = 0\)
L'abscisse du sommet : \(t_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2(-5)} = 2\) secondes
\(h(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -20 + 40 = 20\) mètres
Résoudre \(h(t) = 0\): \(-5t^2 + 20t = 0\)
\(t(-5t + 20) = 0\), donc \(t = 0\) ou \(t = 4\)
Le ballon est au sol à \(t = 0\) s et \(t = 4\) s. La hauteur maximale est atteinte à \(t = 2\) s.
Le ballon atteint sa hauteur maximale de 20 mètres après 2 secondes, et retombe au sol après 4 secondes.
• Physique : Les trajectoires paraboliques suivent une fonction quadratique
• Temps de vol : Solutions de \(h(t) = 0\) donnent le début et la fin du mouvement
• Hauteur maximale : Atteinte au sommet de la parabole
Une entreprise vend des articles. Son bénéfice (en euros) en fonction du nombre d'articles vendus \(x\) (en centaines) est donné par : \(B(x) = -2x^2 + 16x - 20\)
\(B(x) = -2x^2 + 16x - 20\) avec \(a = -2\), \(b = 16\), \(c = -20\)
\(x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{16}{2(-2)} = 4\)
Soit 400 articles
\(B(4) = -2(4)^2 + 16(4) - 20 = -32 + 64 - 20 = 12\)
Soit 1200 €
Résoudre \(B(x) = 0\): \(-2x^2 + 16x - 20 = 0\)
\(x^2 - 8x + 10 = 0\)
\(\Delta = 64 - 40 = 24\), \(x = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{2} = 4 \pm \sqrt{6}\)
\(x_1 = 4 - \sqrt{6} \approx 1.55\) et \(x_2 = 4 + \sqrt{6} \approx 6.45\)
L'entreprise est rentable entre 155 et 645 articles vendus
Le bénéfice maximal est de 1200 € pour 400 articles vendus. L'entreprise est rentable entre 155 et 645 articles vendus.
• Économie : Les fonctions de profit sont souvent quadratiques
• Optimisation : Le maximum est atteint au sommet de la parabole
• Seuils de rentabilité : Solutions de \(B(x) = 0\) délimitent la zone de profit
Une entreprise vend un produit à \(p\) euros l'unité. La quantité vendue est \(q = 200 - 5p\) unités par mois. Le bénéfice mensuel est \(B(p) = p \times q - 1000 = p(200 - 5p) - 1000\).
\(B(p) = p(200 - 5p) - 1000 = 200p - 5p^2 - 1000\)
\(B(p) = -5p^2 + 200p - 1000\)
\(a = -5\), \(b = 200\), \(c = -1000\)
\(p_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{200}{2(-5)} = 20\) euros
\(B(20) = -5(20)^2 + 200(20) - 1000 = -2000 + 4000 - 1000 = 1000\) euros
\(q = 200 - 5(20) = 100\) unités
Le prix de vente optimal est de 20 euros, ce qui permet d'obtenir un bénéfice maximal de 1000 euros pour 100 unités vendues.
• Élasticité : Relation entre prix et quantité vendue
• Bénéfice : Recette moins coûts fixes
• Optimisation : Trouver le maximum de la fonction quadratique
On fabrique une boîte sans couvercle à partir d'une plaque carrée de 20 cm de côté. On découpe un carré de côté \(x\) cm dans chaque coin, puis on plie les côtés. Trouver \(x\) pour que le volume soit maximal.
Après découpage, la base fait : \((20 - 2x)\) cm de côté
La hauteur est : \(x\) cm
\(V(x) = \text{aire de la base} \times \text{hauteur}\)
\(V(x) = (20 - 2x)^2 \times x = x(20 - 2x)^2\)
\(V(x) = x(400 - 80x + 4x^2) = 400x - 80x^2 + 4x^3\)
Attention : Ce n'est pas une fonction quadratique !
\(V'(x) = 400 - 160x + 12x^2\)
Pour maximiser : \(V'(x) = 0\), donc \(12x^2 - 160x + 400 = 0\)
\(3x^2 - 40x + 100 = 0\)
\(\Delta = 1600 - 1200 = 400\)
\(x = \frac{40 \pm 20}{6}\), donc \(x_1 = \frac{10}{3}\) et \(x_2 = 10\)
\(x_1 = \frac{10}{3} \approx 3.33\) cm
\(x_2 = 10\) cm est impossible car \(20 - 2(10) = 0\)
Il faut découper des carrés de côté environ 3.33 cm dans chaque coin pour obtenir le volume maximal de la boîte.
• Géométrie : Bien identifier les dimensions après transformation
• Volume : Aire de la base multipliée par la hauteur
• Contraintes : Vérifier que la solution est physiquement possible
- Identifier les variables : Quelle grandeur doit être optimisée ?
- Établir les relations : Comment les variables sont-elles liées ?
- Exprimer la fonction : Mettre la grandeur à optimiser en fonction d'une seule variable
- Reconnaître la forme : Identifier si c'est une fonction quadratique
- Optimiser : Trouver le sommet pour le maximum ou minimum
- Si \(a > 0\), la fonction admet un minimum (parabole tournée vers le haut)
- Si \(a < 0\), la fonction admet un maximum (parabole tournée vers le bas)
- L'optimum est toujours atteint au sommet de la parabole
- Les contraintes physiques limitent les valeurs possibles des variables
- Les coefficients ont souvent une signification dans le contexte concret
