Définition et Propriétés
\( P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 \)
Polynôme de degré n (n ≥ 3)
Définition :
Un polynôme de degré supérieur à 2 est une expression algébrique dont le terme de plus haut degré est supérieur ou égal à 3.
Propriété :
Un polynôme de degré n admet au maximum n racines réelles distinctes.
Méthodes de Résolution
Recherche de racines évidentes
Division euclidienne
Factorisation progressive
Identification de facteurs
Racines et factorisation
a racine de P ⇒ P(a) = 0
P(a) = 0 ⇒ P(x) = (x-a)Q(x)
Théorème de Bézout
Cas particuliers
Trinômes bicarrés :
\( ax^4 + bx^2 + c = 0 \) → poser X = x²
Équations symétriques :
\( ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0 \) → diviser par x²
Conseils & Astuces
Tester les valeurs simples : 0, 1, -1, 2, -2
Utiliser la division pour réduire le degré
Chercher des facteurs communs ou des identités remarquables
Vérifier toujours la factorisation en développant
Utiliser la calculatrice pour tester des valeurs
Exemples Concrets
Exemple 1 :
\( P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)
P(1) = 0 ⇒ P(x) = (x-1)(x²-5x+6)
P(1) = 0 ⇒ P(x) = (x-1)(x²-5x+6)
Exemple 2 :
\( Q(x) = x^4 - 5x^2 + 4 \)
Poser X = x² : X² - 5X + 4 = 0
Poser X = x² : X² - 5X + 4 = 0
Exemple 3 :
\( R(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \)
R(1) = 0 ⇒ R(x) = (x-1)(x²-x-6)
R(1) = 0 ⇒ R(x) = (x-1)(x²-x-6)
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Oublier de vérifier que la division est exacte
Erreur 2 :
Ne pas tenir compte de toutes les racines possibles
Erreur 3 :
Se tromper dans la division euclidienne
