Algorithme de Division
\( A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x) \)
avec deg(R) < deg(B) ou R = 0
Définition :
La division euclidienne de polynômes consiste à déterminer des polynômes Q (quotient) et R (reste) tels que A = B·Q + R avec deg(R) < deg(B).
Propriété :
Le degré du reste est strictement inférieur au degré du diviseur.
Méthode de Division
Diviser les termes dominants
Multiplier et soustraire
Répéter le processus
Arrêter quand deg < deg(B)
Cas particuliers
Division par x - a
Division synthétique
Division exacte (R = 0)
Applications
Factorisation :
Si R = 0, alors B divise A et A = B·Q
Racines :
Si A(a) = 0, alors A = (x-a)·Q(x)
Conseils & Astuces
Toujours ordonner les polynômes par degré décroissant
Vérifier la division en développant B·Q + R
Aligner les termes de même degré pour éviter les erreurs
Soustraire soigneusement à chaque étape
La division par x - a permet de tester si a est une racine
Exemples Concrets
Exemple 1 :
\( (x^3 - 2x^2 + x - 2) ÷ (x - 2) \)
Quotient: \( x^2 + 1 \), Reste: 0
Quotient: \( x^2 + 1 \), Reste: 0
Exemple 2 :
\( (x^4 + x^3 - x - 1) ÷ (x^2 + 1) \)
Quotient: \( x^2 + x - 1 \), Reste: -2x
Quotient: \( x^2 + x - 1 \), Reste: -2x
Exemple 3 :
\( (2x^3 - 3x^2 + x + 1) ÷ (x + 1) \)
Quotient: \( 2x^2 - 5x + 6 \), Reste: -5
Quotient: \( 2x^2 - 5x + 6 \), Reste: -5
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Oublier de vérifier que deg(R) < deg(B)
Erreur 2 :
Se tromper dans les signes lors des soustractions
Erreur 3 :
Arrêter la division trop tôt
