Division euclidienne de polynômes | Mathématiques 1ère
Introduction
Découvrez l'algorithme de division des polynômes et ses applications
Théorème de la division euclidienne
Théorème fondamental
Soient A(x) et B(x) deux polynômes avec B(x) ≠ 0. Il existe un unique couple de polynômes Q(x) et R(x) tels que :
avec deg(R) < deg(B) ou R(x) = 0.
Où :
- A(x) est le dividende
- B(x) est le diviseur
- Q(x) est le quotient
- R(x) est le reste
Soit A(x) = x³ + 2x² - 5x - 6 et B(x) = x - 2
Alors : x³ + 2x² - 5x - 6 = (x - 2)(x² + 4x + 3) + 0
Donc :
- Quotient Q(x) = x² + 4x + 3
- Reste R(x) = 0
Lorsque le reste R(x) = 0, on dit que B(x) divise A(x).
Dans ce cas : A(x) = B(x) × Q(x)
On dit aussi que A(x) est divisible par B(x).
Algorithme de division
Méthode de division
- 1 Diviser le terme dominant du dividende par le terme dominant du diviseur pour obtenir le premier terme du quotient
- 2 Multiplier ce terme par le diviseur
- 3 Soustraire le résultat du dividende
- 4 Répéter le processus avec le nouveau dividende jusqu'à ce que le degré du reste soit strictement inférieur au degré du diviseur
Étape 1 : x³ ÷ x = x² → x²(x - 2) = x³ - 2x²
Étape 2 : (x³ + 2x² - 5x - 6) - (x³ - 2x²) = 4x² - 5x - 6
Étape 3 : 4x² ÷ x = 4x → 4x(x - 2) = 4x² - 8x
Étape 4 : (4x² - 5x - 6) - (4x² - 8x) = 3x - 6
Étape 5 : 3x ÷ x = 3 → 3(x - 2) = 3x - 6
Étape 6 : (3x - 6) - (3x - 6) = 0
Théorème du reste
Application importante
Le reste de la division de P(x) par (x - a) est P(a).
Donc : P(a) = (a - a) × Q(a) + R = 0 + R = R
(x - a) divise P(x) si et seulement si P(a) = 0.
Autrement dit, a est une racine de P(x) si et seulement si (x - a) est un facteur de P(x).
Soit P(x) = x³ - 2x² + 3x - 4. Quel est le reste de la division par (x - 1) ?
Réponse : P(1) = 1³ - 2(1)² + 3(1) - 4 = 1 - 2 + 3 - 4 = -2
Donc le reste est -2.
Division par un binôme
Cas particulier
La division par un binôme de la forme (x - a) peut être effectuée de manière plus rapide avec la méthode de Ruffini.
Exemple : Division de P(x) = 2x³ - 5x² + 3x - 7 par (x - 2)
| 2 | 2 | -5 | 3 | -7 |
| 4 | -2 | 2 | ||
| 2 | -1 | 1 | -5 |
Le quotient est Q(x) = 2x² - x + 1 et le reste est R = -5
- Moins de calculs nécessaires
- Plus rapide que la division classique
- Permet de calculer P(a) en même temps
- Idéal pour la factorisation
Exercice d'application
Problème complet
Soit P(x) = x⁴ - 3x³ + 2x² + 5x - 7.
1. Effectuer la division euclidienne de P(x) par (x - 1).
2. En déduire le quotient Q(x) et le reste R.
3. Vérifier que P(1) = R.
4. Utiliser la division pour factoriser P(x) si possible.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
Utilisons la méthode de Ruffini :
| 1 | 1 | -3 | 2 | 5 | -7 |
| 1 | -2 | 0 | 5 | ||
| 1 | -2 | 0 | 5 | -2 |
Donc : P(x) = (x - 1)(x³ - 2x² + 0x + 5) + (-2)
Soit : P(x) = (x - 1)(x³ - 2x² + 5) - 2
- Quotient : Q(x) = x³ - 2x² + 5
- Reste : R = -2
On retrouve bien R = -2, ce qui confirme le théorème du reste.
Comme R ≠ 0, (x - 1) ne divise pas P(x), donc P(x) ne peut pas être factorisé par (x - 1).
On aurait besoin d'un diviseur pour lequel le reste est 0 pour effectuer une factorisation.
Division avec racine connue
Cas de division exacte
Si a est une racine de P(x), alors P(a) = 0, donc le reste de la division de P(x) par (x - a) est 0.
Cela permet de factoriser P(x) et de réduire son degré.
Testons si 1 est une racine : P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0
Donc (x - 1) divise P(x). Effectuons la division :
P(x) = (x - 1)(x² - 5x + 6)
Factorisons x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
Exercice avancé
Problème complexe
Soit P(x) = x⁴ - 5x³ + 7x² - 5x + 6. On sait que 2 est une racine de P(x).
1. Effectuer la division de P(x) par (x - 2).
2. Factoriser complètement P(x).
3. Résoudre l'équation P(x) = 0.
4. Déterminer les racines de P(x) et leur multiplicité.
- Utiliser la division synthétique pour diviser par (x - 2)
- Chercher d'autres racines dans le quotient obtenu
- Factoriser complètement en identifiant toutes les racines
Solution de l'exercice avancé
Correction détaillée
Divisons P(x) = x⁴ - 5x³ + 7x² - 5x + 6 par (x - 2) :
| 2 | 1 | -5 | 7 | -5 | 6 |
| 2 | -6 | 2 | -6 | ||
| 1 | -3 | 1 | -3 | 0 |
Donc P(x) = (x - 2)(x³ - 3x² + x - 3)
Regroupons les termes : x³ - 3x² + x - 3 = x²(x - 3) + 1(x - 3) = (x - 3)(x² + 1)
Puisque x² + 1 n'a pas de racine réelle (x² + 1 > 0 pour tout x réel), la factorisation complète est :
P(x) = 0 ⟺ (x - 2)(x - 3)(x² + 1) = 0
Donc x - 2 = 0 ou x - 3 = 0 ou x² + 1 = 0
Les solutions réelles sont : x = 2 et x = 3
L'équation x² + 1 = 0 n'a pas de solution réelle.
- x = 2 est une racine simple (multiplicité 1)
- x = 3 est une racine simple (multiplicité 1)
- Il y a deux racines complexes : x = i et x = -i (issues de x² + 1 = 0)
Applications de la division
Utilisations pratiques
La division permet de réduire le degré d'un polynôme en trouvant des facteurs linéaires.
Exemple : Si on trouve que (x - a) divise P(x), alors P(x) = (x - a)Q(x), et on peut continuer à factoriser Q(x).
Si on connaît une racine a de P(x), on peut diviser P(x) par (x - a) pour réduire le degré de l'équation.
Exemple : P(x) = 0 devient (x - a)Q(x) = 0, donc x = a ou Q(x) = 0.
La division permet de déterminer le signe d'un polynôme, de trouver des asymptotes, et d'étudier le comportement à l'infini.
Exercice de synthèse
Problème complet
Soit P(x) = x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1.
1. Vérifier que 1 est une racine de P(x).
2. Effectuer la division de P(x) par (x - 1) successivement jusqu'à ce que le quotient n'admette plus 1 comme racine.
3. En déduire la factorisation complète de P(x).
4. Déterminer la multiplicité de la racine 1.
Effectuez la division plusieurs fois pour déterminer si 1 est une racine multiple.
Solution de l'exercice de synthèse
Correction détaillée
Donc 1 est bien une racine de P(x).
Divisons P(x) par (x - 1) :
| 1 | 1 | -4 | 6 | -4 | 1 |
| 1 | -3 | 3 | -1 | ||
| 1 | -3 | 3 | -1 | 0 |
Donc P(x) = (x - 1)(x³ - 3x² + 3x - 1)
Vérifions si 1 est racine de Q₁(x) = x³ - 3x² + 3x - 1 :
Q₁(1) = 1 - 3 + 3 - 1 = 0
Divisons Q₁(x) par (x - 1) :
| 1 | 1 | -3 | 3 | -1 |
| 1 | -2 | 1 | ||
| 1 | -2 | 1 | 0 |
Donc P(x) = (x - 1)²(x² - 2x + 1)
Vérifions si 1 est racine de Q₂(x) = x² - 2x + 1 :
Q₂(1) = 1 - 2 + 1 = 0
Divisons Q₂(x) par (x - 1) :
| 1 | 1 | -2 | 1 |
| 1 | -1 | ||
| 1 | -1 | 0 |
Donc P(x) = (x - 1)³(x - 1) = (x - 1)⁴
La racine 1 est de multiplicité 4 dans P(x).
Résumé
Points clés
Pour A(x) et B(x) ≠ 0, il existe Q(x) et R(x) uniques tels que :
avec deg(R) < deg(B) ou R(x) = 0
Le reste de la division de P(x) par (x - a) est P(a)
(x - a) divise P(x) si et seulement si P(a) = 0
- Méthode classique : division terme à terme
- Méthode de Ruffini : pour la division par (x - a)
- Utilisation pour la factorisation
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences