Polynômes irréductibles sur ℝ : Un polynôme de degré 2 est irréductible sur ℝ si et seulement si son discriminant est strictement négatif.
- Chercher des racines réelles
- Si aucune racine réelle, tester si factorisable en facteurs de degré 2
- Trouver toutes les racines complexes
- Tous les polynômes sont scindés dans ℂ
\(P(x) = x^2 + 4\)
\(\Delta = 0^2 - 4(1)(4) = -16 < 0\)
Donc pas de racines réelles, et \(P(x)\) est irréductible sur ℝ
\(x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -4 \Rightarrow x = \pm\sqrt{-4} = \pm 2i\)
Les racines sont \(x_1 = 2i\) et \(x_2 = -2i\)
\(P(x) = (x - 2i)(x + 2i)\)
\((x - 2i)(x + 2i) = x^2 - (2i)^2 = x^2 - 4i^2 = x^2 - 4(-1) = x^2 + 4\) ✓
Sur ℂ: (x - 2i)(x + 2i)
Sur ℝ : \(P(x) = x^2 + 4\) est irréductible.
Sur ℂ : \(P(x) = (x - 2i)(x + 2i)\)
• Irréductibilité sur ℝ : Discriminant < 0 ⇒ irréductible
• Factorisation sur ℂ : Tous les polynômes sont scindés
• Racines complexes : \(\sqrt{-a} = i\sqrt{a}\) pour \(a > 0\)
Identités remarquables : \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) et \(a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + ... + b^{n-1})\).
\(P(x) = x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)\)
\(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\)
\(x^2 + 1\) est irréductible sur ℝ car \(\Delta = -4 < 0\)
Donc : \(P(x) = (x-1)(x+1)(x^2+1)\) sur ℝ
\(x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1 \Rightarrow x = \pm i\)
Racines réelles : \(x = 1, -1\)
Racines complexes : \(x = i, -i\)
\(P(x) = (x-1)(x+1)(x-i)(x+i)\)
\((x-1)(x+1)(x-i)(x+i) = (x^2-1)(x^2+1) = x^4-1\) ✓
Sur ℂ: (x-1)(x+1)(x-i)(x+i)
Sur ℝ : \(P(x) = (x-1)(x+1)(x^2+1)\)
Sur ℂ : \(P(x) = (x-1)(x+1)(x-i)(x+i)\)
• Identités remarquables : Utiliser \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)
• Racines complexes conjuguées : Si le polynôme est réel, les racines complexes viennent par paires
• Factorisation complète : Sur ℂ, tous les facteurs sont de degré 1
Racines complexes : Pour \(ax^2 + bx + c = 0\) avec \(\Delta < 0\), les racines sont \(x = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\).
\(P(x) = x^2 - 2x + 5\)
\(\Delta = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16\)
\(x = \frac{-(-2) \pm i\sqrt{|-16|}}{2(1)} = \frac{2 \pm i\sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i\)
\(x_1 = 1 + 2i\) et \(x_2 = 1 - 2i\)
Elles sont conjuguées car le polynôme est réel
\(P(x) = (x - (1+2i))(x - (1-2i)) = (x - 1 - 2i)(x - 1 + 2i)\)
\((x - 1 - 2i)(x - 1 + 2i) = (x-1)^2 - (2i)^2 = x^2 - 2x + 1 + 4 = x^2 - 2x + 5\) ✓
Les racines complexes sont \(x_1 = 1 + 2i\) et \(x_2 = 1 - 2i\).
• Racines complexes : \(x = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\) quand \(\Delta < 0\)
• Conjugaison : Pour un polynôme réel, les racines complexes sont conjuguées
• Factorisation sur ℝ : \(x^2 - 2x + 5\) est irréductible sur ℝ
Identité remarquable : \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\). Les racines cubiques de l'unité sont \(1\), \(j\), et \(j^2\) avec \(j = e^{2i\pi/3}\).
\(P(x) = x^3 - 8 = x^3 - 2^3\)
Utilisons l'identité : \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\)
\(P(x) = (x-2)(x^2 + 2x + 4)\)
\(x^2 + 2x + 4\), \(\Delta = 4 - 16 = -12 < 0\)
Donc ce facteur est irréductible sur ℝ
\(x^2 + 2x + 4 = 0\)
\(\Delta = -12\), donc \(x = \frac{-2 \pm i\sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}\)
Les racines sont : \(x_1 = 2\), \(x_2 = -1 + i\sqrt{3}\), \(x_3 = -1 - i\sqrt{3}\)
\(P(x) = (x-2)(x-(-1+i\sqrt{3}))(x-(-1-i\sqrt{3}))\)
\(P(x) = (x-2)(x+1-i\sqrt{3})(x+1+i\sqrt{3})\)
\((x-2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 + 2x^2 + 4x - 2x^2 - 4x - 8 = x^3 - 8\) ✓
Sur ℂ: (x-2)(x+1-i√3)(x+1+i√3)
Sur ℝ : \(P(x) = (x-2)(x^2+2x+4)\)
Sur ℂ : \(P(x) = (x-2)(x+1-i\sqrt{3})(x+1+i\sqrt{3})\)
• Identité cubique : \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\)
• Racines cubiques : \(x^3 = 8\) a trois solutions : une réelle et deux complexes
• Factorisation : Sur ℝ, on s'arrête aux facteurs de degré 1 ou 2 irréductibles
Méthode d'Eisenstein : Certaines factorisations nécessitent des astuces algébriques. Ici, on peut ajouter et soustraire un terme pour créer une identité.
\(P(x) = x^4 + 4\)
\(\Delta < 0\) pour \(x^4 + 4 = 0 \Rightarrow x^4 = -4\) donc pas de racines réelles
Mais peut-être factorisable en deux facteurs quadratiques
\(x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2\)
\(= (x^2 + 2 - 2x)(x^2 + 2 + 2x)\)
\(= (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)\)
Pour \(x^2 - 2x + 2\) : \(\Delta = 4 - 8 = -4 < 0\) ⇒ irréductible sur ℝ
Pour \(x^2 + 2x + 2\) : \(\Delta = 4 - 8 = -4 < 0\) ⇒ irréductible sur ℝ
Pour \(x^2 - 2x + 2 = 0\) : \(x = \frac{2 \pm i\sqrt{4}}{2} = 1 \pm i\)
Pour \(x^2 + 2x + 2 = 0\) : \(x = \frac{-2 \pm i\sqrt{4}}{2} = -1 \pm i\)
\(P(x) = (x-(1+i))(x-(1-i))(x-(-1+i))(x-(-1-i))\)
\(= (x-1-i)(x-1+i)(x+1-i)(x+1+i)\)
Sur ℂ: (x-1-i)(x-1+i)(x+1-i)(x+1+i)
Sur ℝ : \(P(x) = (x^2-2x+2)(x^2+2x+2)\)
Sur ℂ : \(P(x) = (x-1-i)(x-1+i)(x+1-i)(x+1+i)\)
• Astuces algébriques : Ajouter et soustraire un terme pour créer une identité
• Factorisation sur ℝ : Seuls les facteurs de degré 1 et 2 avec Δ ≥ 0 sont réductibles
• Factorisation sur ℂ : Tous les polynômes sont complètement factorisables
- Chercher des racines évidentes : Test de valeurs simples (0, ±1, ±2, ...)
- Utiliser les identités remarquables : \(a^2 - b^2\), \(a^3 - b^3\), etc.
- Division euclidienne : Diviser par \((x-r)\) si \(r\) est une racine connue
- Formule du second degré : Pour les polynômes de degré 2
- Factorisation en facteurs irréductibles : Sur ℝ vs sur ℂ
- Sur ℂ, tous les polynômes sont scindés (factorisables en facteurs de degré 1)
- Sur ℝ, les polynômes irréductibles sont de degré 1 ou 2 avec Δ < 0
- Les polynômes réels ont des racines complexes qui apparaissent par paires conjuguées
- La somme des multiplicités des racines égale le degré du polynôme
- Un polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle
