Fonctions affines et polynômes | Mathématiques 1ère

Une fonction affine est une fonction définie sur ℝ par :

où a et b sont des nombres réels.

On appelle :

• a le coefficient directeur (ou pente)
• b l'ordonnée à l'origine

Si b = 0, alors f(x) = ax est une fonction linéaire.

Exemple : f(x) = 3x

Si a = 0, alors f(x) = b est une fonction constante.

Exemple : f(x) = 5

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.

• Si a > 0, la droite est croissante
• Si a < 0, la droite est décroissante
• Si a = 0, la droite est horizontale

Soit f(x) = ax + b une fonction affine.

• Si a > 0, f est strictement croissante sur ℝ
• Si a < 0, f est strictement décroissante sur ℝ
• Si a = 0, f est constante sur ℝ

Pour f(x) = ax + b avec a ≠ 0 :

La racine est x₀ = -b/a

• Si a > 0 : f(x) < 0 pour x < -b/a et f(x) > 0 pour x > -b/a
• Si a < 0 : f(x) > 0 pour x < -b/a et f(x) < 0 pour x > -b/a

Pour une fonction affine, le taux d'accroissement est constant :

Cela signifie que pour des accroissements égaux des abscisses, les accroissements des ordonnées sont égaux.

Un polynôme est une expression de la forme :

où :

• n est un entier naturel appelé degré du polynôme
• a₀, a₁, ..., aₙ sont des coefficients réels
• aₙ ≠ 0 (coefficient dominant)

• Degré 0 : P(x) = a₀ (constante)
• Degré 1 : P(x) = a₁x + a₀ (affine)
• Degré 2 : P(x) = a₂x² + a₁x + a₀ (quadratique)
• Degré 3 : P(x) = a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ (cubique)

Deux polynômes sont égaux si et seulement si :

• Ils ont le même degré
• Les coefficients de même degré sont égaux

Exemple : ax² + bx + c = a'x² + b'x + c' ⟺ a = a', b = b', c = c'

Soient P(x) = 2x² + 3x - 1 et Q(x) = x² - 2x + 5

Alors P(x) + Q(x) = (2x² + x²) + (3x - 2x) + (-1 + 5) = 3x² + x + 4

Le degré de la somme est inférieur ou égal au maximum des degrés des deux polynômes.

Soient P(x) = x + 1 et Q(x) = x - 2

Alors P(x) × Q(x) = (x + 1)(x - 2) = x² - 2x + x - 2 = x² - x - 2

Le degré du produit est la somme des degrés des deux polynômes.

Soit P(x) = x² + 2x - 1 et k = 3

Alors k × P(x) = 3(x² + 2x - 1) = 3x² + 6x - 3

Le degré reste inchangé (sauf si k = 0).

Soit P(x) un polynôme. Un nombre α est une racine (ou zéro) de P(x) si et seulement si :

Exemple : Soit P(x) = x² - 5x + 6. P(2) = 4 - 10 + 6 = 0, donc 2 est une racine de P(x).

Un nombre α est une racine de P(x) si et seulement si (x - α) divise P(x).

Cela signifie qu'il existe un polynôme Q(x) tel que :

Un polynôme de degré n admet au maximum n racines réelles (ou complexes).

Un polynôme de degré n admet exactement n racines complexes (comptées avec multiplicité).

Le coefficient directeur de f(x) est a = 2 > 0.

Donc f(x) est strictement croissante sur ℝ.

On calcule le discriminant : Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4 > 0

Les solutions sont : x₁ = (4 - √4)/2 = 1 et x₂ = (4 + √4)/2 = 3

Donc les racines de P(x) sont 1 et 3.

Puisque les racines sont 1 et 3, et le coefficient dominant est 1 :

2x + 3 = x² - 4x + 3

2x = x² - 4x

6x = x²

x² - 6x = 0

x(x - 6) = 0

Donc x = 0 ou x = 6

Les fonctions affines et les polynômes font partie des fonctions de référence :

• Fonction constante : f(x) = c
• Fonction affine : f(x) = ax + b
• Fonction carré : f(x) = x²
• Fonction cube : f(x) = x³
• Fonction inverse : f(x) = 1/x

Ces fonctions sont continues sur leur ensemble de définition.

Elles permettent de construire des fonctions plus complexes par combinaisons linéaires et compositions.

Elles servent de base pour l'étude des variations et la résolution d'équations.

• Modélisation de phénomènes linéaires (affines)
• Étude de croissance quadratique (polynômes de degré 2)
• Approximation locale de fonctions complexes
• Résolution de problèmes d'optimisation

• Utiliser la division de P(x) par (x - 1)
• Factoriser le quotient obtenu
• Étudier le signe de chaque facteur
• Construire un tableau de signes

Puisque 1 est une racine de P(x), (x - 1) divise P(x).

En effectuant la division : P(x) = (x - 1)(x² - 5x + 6)

On peut factoriser x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Les racines de P(x) sont les solutions de (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0

Donc x = 1, x = 2 ou x = 3

Les racines sont : 1, 2 et 3

Pour étudier le signe de P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3), on examine le signe de chaque facteur :

• (x - 1) > 0 ⟺ x > 1
• (x - 2) > 0 ⟺ x > 2
• (x - 3) > 0 ⟺ x > 3

Tableau de signes : P(x) est négatif sur ]-∞; 1[, positif sur ]1; 2[, négatif sur ]2; 3[, et positif sur ]3; +∞[.

P(x) ≥ 0 ⟺ x ∈ [1; 2] ∪ [3; +∞[

Donc l'ensemble des solutions est [1; 2] ∪ [3; +∞[.

Le coût de production d'une entreprise peut être modélisé par une fonction affine C(x) = ax + b, où x est la quantité produite, a est le coût marginal et b est le coût fixe.

Le profit peut être modélisé par une fonction quadratique P(x) = -x² + bx - c, qui admet un maximum.

La position d'un objet en mouvement uniformément accéléré est donnée par x(t) = ½at² + v₀t + x₀, qui est une fonction quadratique du temps.

La vitesse est une fonction affine v(t) = at + v₀.

L'aire d'un carré de côté x est A(x) = x² (fonction carré).

L'aire d'un rectangle de longueur (x + a) et de largeur (x + b) est A(x) = x² + (a + b)x + ab (fonction quadratique).

• Calculer B(x) = recette - coût total
• Identifier la nature de la fonction (affine, quadratique, etc.)
• Utiliser les propriétés des fonctions quadratiques pour trouver le maximum

Recette = prix × quantité = 10x

Coût total = C(x) + S(x) = (2x + 100) + 0.1x² = 0.1x² + 2x + 100

B(x) = Recette - Coût total = 10x - (0.1x² + 2x + 100)

B(x) = -0.1x² + 8x - 100 est un polynôme de degré 2.

C'est une fonction quadratique (ou polynôme du second degré).

Pour une fonction quadratique f(x) = ax² + bx + c avec a < 0, le maximum est atteint en x = -b/(2a).

Ici, a = -0.1, b = 8, donc x = -8/(2×(-0.1)) = -8/(-0.2) = 40

Il faut produire 40 articles pour maximiser le bénéfice.

B(40) = -0.1(40)² + 8(40) - 100 = -0.1(1600) + 320 - 100 = -160 + 320 - 100 = 60

Le bénéfice maximum est de 60€.

• f(x) = ax + b
• Représentation graphique : droite
• Variations déterminées par le coefficient a
• Taux d'accroissement constant

• P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀
• Degré du polynôme : n
• Nombre de racines ≤ degré
• Opérations : addition, multiplication

• Modélisation de phénomènes linéaires
• Étude de croissance quadratique
• Optimisation de fonctions
• Résolution d'équations et d'inéquations