Fonction affine : Une fonction de la forme \(f(x) = ax + b\) où \(a\) est le coefficient directeur et \(b\) l'ordonnée à l'origine. Sa représentation graphique est une droite.
\(a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{9 - 5}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2\)
Utilisons le point A(2, 5) : \(f(2) = 5\)
\(5 = 2 \times 2 + b\)
\(5 = 4 + b\)
\(b = 1\)
\(f(4) = 2 \times 4 + 1 = 8 + 1 = 9\) ✓
L'expression de la fonction est : \(f(x) = 2x + 1\)
La fonction affine passant par les points A(2, 5) et B(4, 9) est \(f(x) = 2x + 1\).
• Coefficient directeur : \(a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
• Ordonnée à l'origine : Utiliser un point connu pour déterminer \(b\)
• Vérification : Toujours contrôler avec l'autre point
Fonction quadratique : Une fonction de la forme \(f(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\). Sa représentation graphique est une parabole.
\(f(x) = -2x^2 + 8x - 3\)
\(a = -2\), \(b = 8\), \(c = -3\)
Puisque \(a = -2 < 0\), la parabole est tournée vers le bas.
La fonction admet un maximum.
\(x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = -\frac{8}{-4} = 2\)
\(f(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 3 = -8 + 16 - 3 = 5\)
La fonction est croissante sur \(\left]-\infty; 2\right]\) et décroissante sur \(\left[2; +\infty\right[\).
La fonction \(f(x) = -2x^2 + 8x - 3\) est croissante sur \(\left]-\infty; 2\right]\) et décroissante sur \(\left[2; +\infty\right[\). Elle admet un maximum égal à 5 en \(x = 2\).
• Sens de variation : Dépend du signe de \(a\)
• Sommet : \(x_S = -\frac{b}{2a}\) est l'abscisse du maximum ou minimum
• Tableau de variations : Basé sur le signe de \(a\) et la position du sommet
Fonction polynomiale : Une fonction de la forme \(P(x) = a_nx^n + ... + a_1x + a_0\) où \(n\) est le degré du polynôme.
Testons des valeurs simples : \(P(1) = 1 - 4 + 1 + 6 = 4 \neq 0\)
\(P(-1) = -1 - 4 - 1 + 6 = 0\) ✓
Donc \(-1\) est une racine.
Effectuons la division : \(x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x + 1)(x^2 - 5x + 6)\)
\(x^2 - 5x + 6\)
\(\Delta = 25 - 24 = 1\)
\(x = \frac{5 \pm 1}{2}\)
\(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\)
\(x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x + 1)(x - 2)(x - 3)\)
\(x + 1 = 0\) ou \(x - 2 = 0\) ou \(x - 3 = 0\)
Donc \(x = -1\), \(x = 2\) ou \(x = 3\)
Les solutions de l'équation \(x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0\) sont \(x = -1\), \(x = 2\) et \(x = 3\).
• Racine évidente : Tester des valeurs simples comme 0, ±1, ±2
• Factorisation : Si \(a\) est racine, alors \((x-a)\) divise le polynôme
• Résolution : Factoriser complètement pour trouver toutes les solutions
Points d'intersection : Ce sont les points où les deux fonctions prennent la même valeur, donc solutions de l'équation \(f(x) = g(x)\).
\(f(x) = g(x)\)
\(x^2 - 2x + 1 = -x + 3\)
\(x^2 - 2x + 1 + x - 3 = 0\)
\(x^2 - x - 2 = 0\)
\(\Delta = 1 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9\)
\(x = \frac{1 \pm 3}{2}\)
\(x_1 = -1\), \(x_2 = 2\)
Pour \(x_1 = -1\) :
\(y_1 = g(-1) = -(-1) + 3 = 4\)
Pour \(x_2 = 2\) :
\(y_2 = g(2) = -2 + 3 = 1\)
\(f(-1) = 1 + 2 + 1 = 4\) ✓
\(f(2) = 4 - 4 + 1 = 1\) ✓
Les points d'intersection des courbes de \(f(x) = x^2 - 2x + 1\) et \(g(x) = -x + 3\) sont \((-1, 4)\) et \((2, 1)\).
• Intersection : Résoudre l'équation \(f(x) = g(x)\)
• Coordonnées : Calculer l'ordonnée avec l'une des fonctions
• Vérification : S'assurer que les points appartiennent aux deux courbes
Fonction quadratique : Une fonction polynomiale de degré 2 déterminée par 3 conditions indépendantes.
\(f(x) = ax^2 + bx + c\)
Conditions :
\(f(0) = 2 \Rightarrow a(0)^2 + b(0) + c = 2 \Rightarrow c = 2\)
\(f(1) = 5 \Rightarrow a(1)^2 + b(1) + c = 5 \Rightarrow a + b + c = 5\)
\(f(-1) = 1 \Rightarrow a(-1)^2 + b(-1) + c = 1 \Rightarrow a - b + c = 1\)
On a \(c = 2\), donc :
\(a + b + 2 = 5 \Rightarrow a + b = 3\) (équation 1)
\(a - b + 2 = 1 \Rightarrow a - b = -1\) (équation 2)
(1) + (2) : \(2a = 2 \Rightarrow a = 1\)
En remplaçant dans (1) : \(1 + b = 3 \Rightarrow b = 2\)
\(f(x) = x^2 + 2x + 2\)
\(f(0) = 0 + 0 + 2 = 2\) ✓
\(f(1) = 1 + 2 + 2 = 5\) ✓
\(f(-1) = 1 - 2 + 2 = 1\) ✓
La fonction quadratique est : \(f(x) = x^2 + 2x + 2\)
Les réels sont \(a = 1\), \(b = 2\) et \(c = 2\). La fonction est \(f(x) = x^2 + 2x + 2\).
• Détermination : Un polynôme de degré \(n\) est déterminé par \(n+1\) conditions
• Système linéaire : Utiliser les conditions pour former un système d'équations
• Vérification : Toujours contrôler que la solution satisfait toutes les conditions
- Fonction affine : Déterminée par deux points ou un point et le coefficient
- Fonction quadratique : Sommet, axe de symétrie, variations dépendent de \(a\)
- Racines d'un polynôme : Factoriser pour résoudre les équations
- Intersection : Résoudre \(f(x) = g(x)\) et calculer les ordonnées
- Détermination : Utiliser les conditions pour former un système
- Une fonction affine est croissante si \(a > 0\) et décroissante si \(a < 0\)
- Une fonction quadratique admet un minimum si \(a > 0\) et un maximum si \(a < 0\)
- Le sommet d'une parabole est en \(x = -\frac{b}{2a}\)
- Un polynôme de degré \(n\) admet au plus \(n\) racines réelles
- La somme des racines d'un trinôme \(ax^2 + bx + c\) est \(-\frac{b}{a}\)
