Fonction exponentielle : La fonction \(x \mapsto e^x\) est définie sur ℝ, strictement positive, strictement croissante et vérifie \(e^{x+y} = e^x \cdot e^y\).
Posons \(X = e^x\) (avec \(X > 0\) car \(e^x > 0\))
Alors \(e^{2x} = (e^x)^2 = X^2\)
L'équation devient : \(X^2 - 3X + 2 = 0\)
\(\Delta = 9 - 8 = 1\)
\(X_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1\) et \(X_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2\)
Les deux solutions sont positives, donc valides.
Pour \(X_1 = 1\) : \(e^x = 1 \Rightarrow x = \ln(1) = 0\)
Pour \(X_2 = 2\) : \(e^x = 2 \Rightarrow x = \ln(2)\)
Pour \(x = 0\) : \(e^0 - 3e^0 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0\) ✓
Pour \(x = \ln(2)\) : \(e^{2\ln(2)} - 3e^{\ln(2)} + 2 = 4 - 6 + 2 = 0\) ✓
Les solutions de l'équation \(e^{2x} - 3e^x + 2 = 0\) sont \(x = 0\) et \(x = \ln(2)\).
• Changement de variable : Poser \(X = e^x\) pour ramener à une équation algébrique
• Domaine de validité : \(X > 0\) car \(e^x > 0\)
• Retour à la variable : \(e^x = a \Leftrightarrow x = \ln(a)\) si \(a > 0\)
Fonction logarithme népérien : La fonction \(x \mapsto \ln(x)\) est définie sur \(]0; +\infty[\), strictement croissante et vérifie \(\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)\).
L'inéquation \(\ln(x+1) < 2\) est définie si \(x + 1 > 0\), c'est-à-dire \(x > -1\).
La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0; +\infty[\), donc :
\(\ln(x+1) < 2 \Leftrightarrow x+1 < e^2\)
\(x + 1 < e^2 \Rightarrow x < e^2 - 1\)
On doit avoir : \(x > -1\) et \(x < e^2 - 1\)
Puisque \(e^2 - 1 > 0 > -1\), la solution est : \(x \in ]-1; e^2 - 1[\)
Par exemple, pour \(x = 0\) : \(\ln(1) = 0 < 2\) ✓
Pour \(x = e^2 - 1.1\) : \(\ln(e^2 - 0.1) < \ln(e^2) = 2\) ✓
L'ensemble des solutions de l'inéquation \(\ln(x+1) < 2\) est \(]-1; e^2 - 1[\).
• Ensemble de définition : \(\ln(x)\) défini pour \(x > 0\)
• Croissance : \(\ln\) est strictement croissante, donc préserve l'ordre
• Solution : Intersection de l'ensemble de définition et des solutions de l'inéquation
Propriétés fondamentales : Pour \(x > 0\), \(\ln(e^x) = x\) et \(e^{\ln(x)} = x\). Ce sont des fonctions réciproques.
\(\ln(e^{3x})\)
D'après la propriété \(\ln(e^y) = y\), on a :
\(\ln(e^{3x}) = 3x\)
\(e^{\ln(2x)}\)
D'après la propriété \(e^{\ln(y)} = y\) (valable pour \(y > 0\)),
comme \(x > 0\), on a \(2x > 0\), donc :
\(e^{\ln(2x)} = 2x\)
\(\ln(e^{3x}) - e^{\ln(2x)} = 3x - 2x = x\)
Pour \(x = 1\) :
\(\ln(e^3) - e^{\ln(2)} = 3 - 2 = 1 = x\) ✓
Pour \(x > 0\), l'expression \(\ln(e^{3x}) - e^{\ln(2x)}\) se simplifie en \(x\).
• Fonctions réciproques : \(\ln(e^x) = x\) et \(e^{\ln(x)} = x\) pour \(x > 0\)
• Domaine de validité : Assurer que les arguments sont dans l'ensemble de définition
• Simplification : Appliquer les propriétés fondamentales pour réduire l'expression
Fonction définie par : \(f(x) = x\ln(x) - x\) sur \(]0; +\infty[\). Nécessite l'étude de la dérivabilité de \(x\ln(x)\).
\(f(x) = x\ln(x) - x\)
\(f'(x) = (x\ln(x))' - 1\)
Utilisons la dérivée de \(uv\) : \((x\ln(x))' = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1\)
Donc : \(f'(x) = \ln(x) + 1 - 1 = \ln(x)\)
\(f'(x) = \ln(x)\)
\(\ln(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
\(\ln(x) < 0\) pour \(x \in ]0; 1[\)
\(\ln(x) > 0\) pour \(x \in ]1; +\infty[\)
\(f(1) = 1 \cdot \ln(1) - 1 = 1 \cdot 0 - 1 = -1\)
\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x\ln(x) - x\)
On sait que \(\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0\), donc \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0\)
\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x(\ln(x) - 1) = +\infty\)
La fonction est décroissante sur \(]0; 1]\) et croissante sur \([1; +\infty[\).
Elle admet un minimum en \(x = 1\) égal à \(-1\).
La fonction \(f(x) = x\ln(x) - x\) est décroissante sur \(]0; 1]\) et croissante sur \([1; +\infty[\). Elle admet un minimum en \(x = 1\) égal à \(-1\).
• Dérivée d'un produit : \((uv)' = u'v + uv'\)
• Variations : Signe de la dérivée détermine le sens de variation
• Limites : Utiliser les limites usuelles comme \(\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0\)
Fonction exponentielle : La dérivée de \(ae^x\) est \(ae^x\). On utilise les conditions pour déterminer les paramètres.
\(f(x) = ae^x + b\)
\(f'(x) = ae^x\)
\(f(0) = 3\)
\(ae^0 + b = 3\)
\(a \cdot 1 + b = 3\)
\(a + b = 3\) (équation 1)
\(f'(0) = 2\)
\(ae^0 = 2\)
\(a \cdot 1 = 2\)
\(a = 2\) (équation 2)
De l'équation (1) : \(a + b = 3\)
Avec \(a = 2\) : \(2 + b = 3\)
Donc \(b = 1\)
\(f(x) = 2e^x + 1\)
\(f(0) = 2e^0 + 1 = 2 + 1 = 3\) ✓
\(f'(x) = 2e^x\)
\(f'(0) = 2e^0 = 2\) ✓
Les réels sont \(a = 2\) et \(b = 1\). La fonction est \(f(x) = 2e^x + 1\).
• Dérivée exponentielle : \((e^x)' = e^x\) et \((ae^x)' = ae^x\)
• Système d'équations : Utiliser les conditions pour former un système
• Vérification : Toujours contrôler que la solution satisfait toutes les conditions
- Équations exponentielles : Utiliser un changement de variable ou appliquer \(\ln\)
- Équations logarithmiques : Appliquer l'exponentielle des deux côtés
- Inéquations : Utiliser la croissance stricte des fonctions
- Simplification : Appliquer les propriétés de réciprocité
- Étude de fonctions : Calculer la dérivée et étudier son signe
- \(e^{x+y} = e^x \cdot e^y\) et \(\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)\) pour \(x, y > 0\)
- \(e^x > 0\) pour tout réel \(x\)
- \(\ln(x) = y \Leftrightarrow x = e^y\) pour \(x > 0\)
- \((e^x)' = e^x\) et \((\ln(x))' = \frac{1}{x}\) pour \(x > 0\)
- \(\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\) et \(\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty\)
