Fonction sinus : La fonction \(x \mapsto \sin(x)\) est définie sur ℝ, impaire, de période \(2\pi\), bornée entre -1 et 1.
On sait que \(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\)
\(\sin(x) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\)
Pour \(k = 0\) : \(x = \frac{\pi}{6}\) et \(x = \frac{5\pi}{6}\)
Pour \(k = 1\) : \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}\) et \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}\)
Ces dernières sont hors de l'intervalle.
\(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\) ✓
\(\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\) ✓
Les solutions de l'équation \(\sin(x) = \frac{1}{2}\) sur \([0; 2\pi[\) sont \(x = \frac{\pi}{6}\) et \(x = \frac{5\pi}{6}\).
• Équation trigonométrique : \(\sin(x) = \sin(a) \Leftrightarrow x = a + 2k\pi\) ou \(x = \pi - a + 2k\pi\)
• Intervalle de définition : Ne conserver que les solutions dans l'intervalle demandé
• Valeurs remarquables : Connaître les valeurs usuelles de sinus et cosinus
Fonction cosinus : La fonction \(x \mapsto \cos(x)\) est définie sur ℝ, paire, de période \(2\pi\), bornée entre -1 et 1.
\(\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
On sait que \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Donc \(x = \frac{\pi}{4}\) ou \(x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi\)
\(\cos(-x) = \cos(x)\), donc \(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Sur \([0; 2\pi[\), on a \(x = \frac{\pi}{4}\) et \(x = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}\)
La fonction cosinus est décroissante sur \([0; \pi]\) et croissante sur \([\pi; 2\pi]\).
Donc \(\cos(x) \geq \frac{\sqrt{2}}{2}\) sur \(\left[0; \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{7\pi}{4}; 2\pi\right[\)
\(\cos(0) = 1 > \frac{\sqrt{2}}{2}\) ✓
\(\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) > \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) ✓
\(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 < \frac{\sqrt{2}}{2}\) ✓
L'ensemble des solutions de l'inéquation \(\cos(x) \geq \frac{\sqrt{2}}{2}\) sur \([0; 2\pi[\) est \(\left[0; \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{7\pi}{4}; 2\pi\right[\).
• Inéquation trigonométrique : Trouver d'abord les solutions de l'équation associée
• Variations : Utiliser le sens de variation des fonctions trigonométriques
• Symétrie : Exploiter la parité ou l'imparité des fonctions
Formules de transformation : \(\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)\) et \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)\).
\(\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)\)
\(\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)\)
\(\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x) + \sin(x)\)
Pour \(x = 0\) :
\(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 0 = 1\)
\(\cos(0) + \sin(0) = 1 + 0 = 1\) ✓
L'expression \(\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\) se simplifie en \(\sin(x) + \cos(x)\).
• Formules de transformation : \(\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)\) et \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)\)
• Simplification : Appliquer les formules pour réduire l'expression
• Vérification : Contrôler avec une valeur particulière
Fonction composée : \(f(x) = \sin(x) + \cos(x)\) est une combinaison linéaire de fonctions trigonométriques.
\(f(x) = \sin(x) + \cos(x)\)
\(f'(x) = \cos(x) - \sin(x)\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos(x) - \sin(x) = 0 \Leftrightarrow \cos(x) = \sin(x)\)
\(\tan(x) = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi\)
Sur \([0; \pi]\), on a \(x = \frac{\pi}{4}\)
Pour \(x \in \left[0; \frac{\pi}{4}\right[\), \(\cos(x) > \sin(x)\) donc \(f'(x) > 0\)
Pour \(x \in \left]\frac{\pi}{4}; \pi\right]\), \(\cos(x) < \sin(x)\) donc \(f'(x) < 0\)
\(f(0) = \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1\)
\(f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\)
\(f(\pi) = \sin(\pi) + \cos(\pi) = 0 + (-1) = -1\)
La fonction est croissante sur \(\left[0; \frac{\pi}{4}\right]\) et décroissante sur \(\left[\frac{\pi}{4}; \pi\right]\).
Elle admet un maximum en \(x = \frac{\pi}{4}\) égal à \(\sqrt{2}\).
La fonction \(f(x) = \sin(x) + \cos(x)\) est croissante sur \(\left[0; \frac{\pi}{4}\right]\) et décroissante sur \(\left[\frac{\pi}{4}; \pi\right]\). Elle admet un maximum en \(x = \frac{\pi}{4}\) égal à \(\sqrt{2}\).
• Dérivée : \((\sin(x))' = \cos(x)\) et \((\cos(x))' = -\sin(x)\)
• Variations : Signe de la dérivée détermine le sens de variation
• Équation trigonométrique : \(\cos(x) = \sin(x) \Leftrightarrow \tan(x) = 1\)
Formule de duplication : \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\). On peut aussi utiliser la formule \(\sin(u) = \sin(v) \Leftrightarrow u = v + 2k\pi\) ou \(u = \pi - v + 2k\pi\).
\(\sin(2x) = \cos(x)\)
\(2\sin(x)\cos(x) = \cos(x)\)
\(2\sin(x)\cos(x) - \cos(x) = 0\)
\(\cos(x)(2\sin(x) - 1) = 0\)
\(\cos(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi\)
Sur \([0; 2\pi[\) : \(x = \frac{\pi}{2}\) et \(x = \frac{3\pi}{2}\)
\(2\sin(x) - 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = \frac{1}{2}\)
Solutions : \(x = \frac{\pi}{6}\) et \(x = \frac{5\pi}{6}\)
Pour \(x = \frac{\pi}{6}\) : \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) ✓
Pour \(x = \frac{\pi}{2}\) : \(\sin(\pi) = 0\) et \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\) ✓
L'ensemble des solutions est : \(S = \left\{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}\right\}\)
Les solutions de l'équation \(\sin(2x) = \cos(x)\) sur \([0; 2\pi[\) sont : \(x = \frac{\pi}{6}\), \(x = \frac{\pi}{2}\), \(x = \frac{5\pi}{6}\) et \(x = \frac{3\pi}{2}\).
• Formule de duplication : \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\)
• Factorisation : Mettre en facteur commun pour résoudre l'équation
• Produit nul : \(AB = 0 \Leftrightarrow A = 0\) ou \(B = 0\)
- Équations de type \(\sin(x) = a\) : Utiliser les formules générales
- Équations de type \(\cos(x) = a\) : Exploiter la parité et la périodicité
- Inéquations : Trouver les solutions de l'équation associée et étudier le signe
- Simplification : Appliquer les formules de transformation
- Étude de fonctions : Calculer la dérivée et étudier son signe
- \(\sin(x) = \sin(a) \Leftrightarrow x = a + 2k\pi\) ou \(x = \pi - a + 2k\pi\)
- \(\cos(x) = \cos(a) \Leftrightarrow x = a + 2k\pi\) ou \(x = -a + 2k\pi\)
- \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) pour tout réel \(x\)
- \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\) et \(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\)
- \(\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)\) et \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)\)
