Domaine de définition : Ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x)\) existe. Pour une fonction avec racine carrée, l'expression sous la racine doit être positive ou nulle.
Pour que \(\sqrt{x-2}\) existe, il faut que l'expression sous la racine soit positive ou nulle :
\(x - 2 \geq 0\)
\(x - 2 \geq 0\)
\(x \geq 2\)
Le domaine de définition est \([2; +\infty[\)
Pour \(x = 2\) : \(f(2) = \sqrt{2-2} = \sqrt{0} = 0\) ✓
Pour \(x = 3\) : \(f(3) = \sqrt{3-2} = \sqrt{1} = 1\) ✓
Pour \(x = 1\) : \(f(1) = \sqrt{1-2} = \sqrt{-1}\) n'existe pas ✗
Le domaine de définition de la fonction \(f(x) = \sqrt{x-2}\) est \([2; +\infty[\).
• Racine carrée : L'expression sous la racine doit être positive ou nulle
• Inéquation : Résoudre \(x - 2 \geq 0\)
• Intervalle : Exprimer le domaine sous forme d'intervalle
Image d'un réel : L'image de \(a\) par \(f\) est le réel \(f(a)\) obtenu en remplaçant \(x\) par \(a\) dans l'expression de \(f(x)\).
\(f(x) = x^2 - 4x + 1\)
\(f(3) = (3)^2 - 4(3) + 1\)
\(f(3) = 9 - 12 + 1 = -2\)
\(f(3) = 9 - 12 + 1 = -2\) ✓
L'image de 3 par la fonction \(f\) est -2.
L'image de 3 par la fonction \(f(x) = x^2 - 4x + 1\) est -2.
• Image : Remplacer \(x\) par la valeur demandée
• Calcul : Effectuer les opérations dans le bon ordre
• Vérification : Recontrôler les calculs
Fonction affine : Une fonction de la forme \(f(x) = ax + b\) où \(a\) est le coefficient directeur et détermine le sens de variation.
\(f(x) = -2x + 5\)
C'est une fonction affine avec coefficient directeur \(a = -2\)
Puisque \(a = -2 < 0\), la fonction est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\)
\(f'(x) = -2\)
Puisque \(f'(x) = -2 < 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), la fonction est strictement décroissante
Comparons deux valeurs :
\(f(0) = -2(0) + 5 = 5\)
\(f(1) = -2(1) + 5 = 3\)
Puisque \(0 < 1\) et \(f(0) > f(1)\), la fonction est bien décroissante
La fonction \(f(x) = -2x + 5\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\)
La fonction \(f(x) = -2x + 5\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
• Fonction affine : \(f(x) = ax + b\) est croissante si \(a > 0\), décroissante si \(a < 0\)
• Dérivée : Le signe de \(f'(x)\) détermine le sens de variation
• Vérification : Comparer des images de valeurs ordonnées
Fonction rationnelle : Pour une fonction de la forme \(\frac{P(x)}{Q(x)}\), le dénominateur ne doit pas s'annuler.
Pour que \(\frac{1}{x^2 - 4}\) existe, il faut que le dénominateur soit non nul :
\(x^2 - 4 \neq 0\)
\(x^2 - 4 = 0\)
\(x^2 = 4\)
\(x = 2\) ou \(x = -2\)
La fonction n'est pas définie pour \(x = 2\) et \(x = -2\)
Donc \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\) ou \(D_f = ]-\infty; -2[ \cup ]-2; 2[ \cup ]2; +\infty[\)
Pour \(x = 0\) : \(f(0) = \frac{1}{0-4} = -\frac{1}{4}\) ✓
Pour \(x = 2\) : \(f(2) = \frac{1}{4-4} = \frac{1}{0}\) n'existe pas ✗
Pour \(x = -2\) : \(f(-2) = \frac{1}{4-4} = \frac{1}{0}\) n'existe pas ✗
Le domaine de définition de la fonction \(f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}\) est \(\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\).
• Fonction rationnelle : Le dénominateur ne doit pas s'annuler
• Équation : Résoudre \(x^2 - 4 = 0\) pour trouver les valeurs interdites
• Domaine : Exclure les valeurs interdites de \(\mathbb{R}\)
Fonction du second degré : Une fonction de la forme \(f(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\). Son sens de variation dépend du signe de \(a\) et de l'abscisse du sommet.
\(f(x) = x^2 - 6x + 8\)
C'est une fonction du second degré avec \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 8\)
\(f'(x) = 2x - 6\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3\)
\(f'(x) > 0 \Leftrightarrow 2x - 6 > 0 \Leftrightarrow x > 3\)
\(f'(x) < 0 \Leftrightarrow 2x - 6 < 0 \Leftrightarrow x < 3\)
Sur \([0; 3]\) : \(f\) est décroissante
Sur \([3; 5]\) : \(f\) est croissante
\(f(0) = 0 - 0 + 8 = 8\)
\(f(3) = 9 - 18 + 8 = -1\) (minimum)
\(f(5) = 25 - 30 + 8 = 3\)
Sur \([0; 5]\), la fonction \(f(x) = x^2 - 6x + 8\) est décroissante sur \([0; 3]\) et croissante sur \([3; 5]\). Elle admet un minimum égal à -1 en \(x = 3\).
• Dérivée : \((x^2)' = 2x\) et \((ax)' = a\)
• Variations : Signe de la dérivée détermine le sens de variation
• Fonction du second degré : Admet un extremum en \(x = -\frac{b}{2a}\)
- Domaine de définition : Identifier les restrictions (dénominateur ≠ 0, racine ≥ 0, etc.)
- Image d'un réel : Remplacer x par la valeur dans l'expression de f(x)
- Variations : Calculer f'(x) et étudier son signe
- Extremums : Chercher les points où f'(x) = 0 et changer de signe
- Tableau de variations : Synthétiser les résultats de manière claire
- Pour \(\sqrt{u(x)}\) : il faut \(u(x) \geq 0\)
- Pour \(\frac{1}{u(x)}\) : il faut \(u(x) \neq 0\)
- Si \(f'(x) > 0\) sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle
- Si \(f'(x) < 0\) sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle
- Une fonction affine \(f(x) = ax + b\) est croissante si \(a > 0\) et décroissante si \(a < 0\)
