Lecture graphique : Pour lire l'image d'un nombre \(a\) par une fonction \(f\), on trace la verticale en \(x = a\) et on lit l'ordonnée du point d'intersection avec la courbe. Pour les antécédents de \(b\), on trace l'horizontale en \(y = b\) et on lit les abscisses des points d'intersection.
On trace la droite verticale d'équation \(x = 2\)
On lit l'ordonnée du point d'intersection avec la courbe
On trouve \(f(2) = 3\)
On trace la droite horizontale d'équation \(y = 1\)
On lit les abscisses des points d'intersection avec la courbe
On trouve \(x = 0\) et \(x = 4\)
On peut vérifier en utilisant la fonction si on la connaît
Par exemple, si \(f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + x + 1\)
\(f(2) = -\frac{1}{4}(4) + 2 + 1 = -1 + 3 = 2\) (proche de notre lecture)
L'image de 2 par la fonction \(f\) est 3. Les antécédents de 1 par la fonction \(f\) sont 0 et 4.
• Image : Tracer une verticale en \(x = a\) et lire l'ordonnée
• Antécédent : Tracer une horizontale en \(y = b\) et lire les abscisses
• Précision : Lire avec soin les graduations du repère
Variations d'une fonction : Une fonction est croissante sur un intervalle si sa courbe "monte", décroissante si elle "descend". On observe la direction de la courbe de gauche à droite.
Sur l'intervalle \([-2; 1]\), la courbe monte : la fonction est croissante
En \(x = 1\), la courbe atteint un maximum, puis commence à descendre
Sur l'intervalle \([1; 4]\), la courbe descend : la fonction est décroissante
La fonction est croissante sur \([-2; 1]\) et décroissante sur \([1; 4]\)
Elle admet un maximum en \(x = 1\)
On peut comparer des valeurs : \(f(-2) < f(0) < f(1)\) et \(f(1) > f(2) > f(4)\)
Sur l'intervalle \([-2; 4]\), la fonction est croissante sur \([-2; 1]\) et décroissante sur \([1; 4]\). Elle admet un maximum en \(x = 1\).
• Variations : Observer si la courbe monte ou descend de gauche à droite
• Point critique : Changement de variation indique un extremum
• Tableau : Résumer les variations dans un tableau
Résolution graphique : Résoudre l'équation \(f(x) = k\) revient à trouver les abscisses des points d'intersection de la courbe de \(f\) avec la droite horizontale d'équation \(y = k\).
C'est l'axe des abscisses (la droite horizontale passant par l'origine)
On observe où la courbe traverse l'axe des abscisses
On identifie les points A, B et C
On lit les abscisses de ces points d'intersection avec l'axe des abscisses
On trouve approximativement : \(x_1 \approx -1\), \(x_2 \approx 1\), \(x_3 \approx 3\)
Les solutions de l'équation \(f(x) = 0\) sont les valeurs de \(x\) pour lesquelles la courbe coupe l'axe des abscisses
On peut vérifier en estimant \(f(-1) \approx 0\), \(f(1) \approx 0\), \(f(3) \approx 0\)
Les solutions de l'équation \(f(x) = 0\) sont approximativement \(x = -1\), \(x = 1\) et \(x = 3\).
• Équation : \(f(x) = 0\) correspond aux intersections avec l'axe des abscisses
• Résolution : Lire les abscisses des points d'intersection
• Précision : Donner des valeurs approchées si les lectures ne sont pas exactes
Construction d'une courbe : Pour tracer la courbe représentative d'une fonction sur un intervalle, on calcule les images de plusieurs valeurs de l'intervalle, puis on relie les points obtenus.
\(f(x) = -x^2 + 4x - 1\) sur \([0; 4]\)
\(f(0) = -0 + 0 - 1 = -1\)
\(f(1) = -1 + 4 - 1 = 2\)
\(f(2) = -4 + 8 - 1 = 3\)
\(f(3) = -9 + 12 - 1 = 2\)
\(f(4) = -16 + 16 - 1 = -1\)
On place les points : A(0, -1), B(1, 2), C(2, 3), D(3, 2), E(4, -1)
On relie les points par une courbe continue en respectant l'allure d'une parabole (car fonction du second degré)
On observe que la fonction est croissante sur \([0; 2]\) et décroissante sur \([2; 4]\)
Le maximum est atteint en \(x = 2\) avec \(f(2) = 3\)
La courbe de \(f(x) = -x^2 + 4x - 1\) sur \([0; 4]\) est une parabole tournée vers le bas avec un sommet en (2, 3).
• Calculs : Évaluer la fonction en plusieurs points de l'intervalle
• Placement : Positionner correctement les points dans le repère
• Tracé : Relier les points de façon régulière en respectant l'allure de la fonction
Extremum : Le maximum (ou minimum) d'une fonction sur un intervalle est la plus grande (ou plus petite) valeur prise par la fonction sur cet intervalle.
On calcule quelques points :
\(f(-1) = -1 - 2 + 3 = 0\)
\(f(0) = 3\)
\(f(1) = -1 + 2 + 3 = 4\)
\(f(2) = -4 + 4 + 3 = 3\)
\(f(3) = -9 + 6 + 3 = 0\)
La courbe est une parabole tournée vers le bas (car le coefficient de x² est négatif)
Le sommet de la parabole correspond au maximum de la fonction
On observe que le point le plus haut est atteint en \(x = 1\)
Au point d'abscisse \(x = 1\), l'ordonnée est \(y = 4\)
Donc le maximum de la fonction est 4
On peut vérifier : \(f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4\) ✓
Pour d'autres valeurs : \(f(0) = 3 < 4\), \(f(2) = 3 < 4\)
Le maximum de la fonction \(f(x) = -x^2 + 2x + 3\) sur l'intervalle \([-1; 3]\) est 4, atteint en \(x = 1\).
• Représentation : Tracer la courbe pour visualiser les variations
• Maximum : C'est le point le plus haut de la courbe sur l'intervalle
• Vérification : Comparer avec d'autres valeurs de la fonction
- Lecture d'image : Tracer une verticale et lire l'ordonnée
- Lecture d'antécédent : Tracer une horizontale et lire l'abscisse
- Variations : Observer si la courbe monte ou descend
- Équations : Trouver les intersections avec une droite horizontale
- Extremums : Identifier les points les plus hauts ou plus bas
- Le point M(a, b) appartient à C_f si et seulement si b = f(a)
- Une fonction est croissante si sa courbe monte de gauche à droite
- Les solutions de f(x) = k sont les abscisses des points d'intersection avec y = k
- Le maximum est l'ordonnée du point le plus haut de la courbe
- Le minimum est l'ordonnée du point le plus bas de la courbe
