Représentations graphiques
Introduction
Visualisez les fonctions mathématiques de manière intuitive
Repère cartésien
Système de coordonnées
Un repère cartésien du plan est un triplet (O, I, J) où O est un point du plan (l'origine) et (OI) et (OJ) sont deux droites perpendiculaires munies de vecteurs unitaires.
Le point O est l'origine du repère, la droite (OI) est l'axe des abscisses (Ox), et la droite (OJ) est l'axe des ordonnées (Oy).
Il existe différents types de repères :
- Repère orthogonal : les axes sont perpendiculaires
- Repère orthonormal : les axes sont perpendiculaires et les unités sont égales
- Repère oblique : les axes ne sont pas perpendiculaires
Courbe d'une fonction
Ensemble des points
Soit f une fonction définie sur un ensemble D. La courbe représentative de f, notée Cf, est l'ensemble des points M(x, y) du plan tels que :
On dit que y est l'image de x par f.
- Chaque point de la courbe a des coordonnées (x, f(x))
- Chaque valeur x du domaine de définition correspond à un point unique sur la courbe
- La courbe permet de visualiser le comportement global de la fonction
Lecture graphique
Interprétation visuelle
Pour lire l'image d'un nombre x, on part du point d'abscisse x sur l'axe des abscisses, on trace une verticale jusqu'à la courbe, puis une horizontale vers l'axe des ordonnées pour obtenir f(x).
Pour lire un antécédent d'un nombre y, on part du point d'ordonnée y sur l'axe des ordonnées, on trace une horizontale jusqu'à la courbe, puis une verticale vers l'axe des abscisses pour obtenir x.
Si la courbe de f passe par le point A(2, 5), alors f(2) = 5.
Si f(x) = 3, alors x est un antécédent de 3 par f.
Symétries
Propriétés de symétrie
Une fonction f est paire si pour tout x dans son domaine de définition :
La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Une fonction f est impaire si pour tout x dans son domaine de définition :
La courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Intersection avec les axes
Points d'intersection
Le point d'intersection avec l'axe des ordonnées est le point de coordonnées (0, f(0)).
Il existe si et seulement si 0 appartient au domaine de définition de f.
Les points d'intersection avec l'axe des abscisses sont les points de coordonnées (x, 0) où x est solution de l'équation f(x) = 0.
Ces points correspondent aux zéros de la fonction.
Représentations des fonctions de référence
Courbes usuelles
La courbe d'une fonction affine est une droite. Si a > 0, la droite est croissante. Si a < 0, la droite est décroissante. Si a = 0, la droite est horizontale.
La courbe d'une fonction carrée est une parabole tournée vers le haut, avec un minimum en (0, 0). Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire).
La courbe d'une fonction racine carrée est une demi-parabole horizontale, définie sur [0, +∞[, croissante, passant par (0, 0).
Variations et tangentes
Lien entre courbe et dérivée
La dérivée f'(a) d'une fonction f en un point a représente la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
Si f'(a) > 0, la tangente est croissante (fonction croissante).
Si f'(a) < 0, la tangente est décroissante (fonction décroissante).
Un extremum local (minimum ou maximum) d'une fonction dérivable correspond à un point où la tangente est horizontale (f'(x) = 0).
Graphiquement, c'est un point où la courbe change de sens de variation.
Exercice d'application
Problème complet
Soit la fonction f définie sur [-3, 3] par : \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)
1. Tracer une allure possible de la courbe représentative de f.
2. Déterminer graphiquement les coordonnées du point d'intersection avec l'axe des ordonnées.
3. Déterminer graphiquement les solutions approximatives de l'équation f(x) = 0.
4. Justifier graphiquement que la fonction admet un maximum local et un minimum local.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
La fonction f(x) = x³ - 3x + 1 est une fonction cubique. Sa dérivée est f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x-1)(x+1).
f'(x) = 0 pour x = -1 ou x = 1.
f'(x) > 0 sur ]-∞, -1[ ∪ ]1, +∞[ et f'(x) < 0 sur ]-1, 1[.
Donc f est croissante sur [-3, -1], décroissante sur [-1, 1], puis croissante sur [1, 3].
Point d'intersection avec l'axe des ordonnées : f(0) = 1, donc point (0, 1).
Solutions de f(x) = 0 : graphiquement, on observe environ 3 solutions : une entre -2 et -1, une entre 0 et 1, une entre 1 et 2.
La fonction change de sens de variation en x = -1 et x = 1.
En x = -1, la fonction passe de croissante à décroissante : c'est un maximum local.
En x = 1, la fonction passe de décroissante à croissante : c'est un minimum local.
Transformations de courbes
Modifications graphiques
La courbe de f(x + a) est la courbe de f(x) translatée de -a unités horizontalement.
Exemple : f(x + 2) décale la courbe de 2 unités vers la gauche.
La courbe de f(x) + b est la courbe de f(x) translatée de b unités verticalement.
Exemple : f(x) + 3 décale la courbe de 3 unités vers le haut.
La courbe de af(x) est la courbe de f(x) étirée verticalement d'un facteur a.
La courbe de f(bx) est la courbe de f(x) compressée horizontalement d'un facteur 1/b.
Applications concrètes
Modélisation de phénomènes
La fonction de profit P(x) montre graphiquement comment le bénéfice varie avec la quantité produite.
Le maximum de la courbe correspond à la quantité optimale de production.
La position d'un objet en fonction du temps est souvent représentée par une courbe.
La pente de la tangente donne la vitesse instantanée.
Les phénomènes oscillatoires (ondes, vibrations) sont modélisés par des fonctions sinusoïdales.
La représentation graphique permet d'analyser amplitude, période, fréquence.
Exercices supplémentaires
Entraînement
La courbe d'une fonction f passe par les points A(1, 3), B(2, 1) et C(3, 4). Donner f(1), f(2) et f(3).
Déterminer les points d'intersection avec les axes de la fonction f(x) = x² - 4.
Déterminer si la fonction f(x) = x³ + x est paire, impaire ou ni l'une ni l'autre.
Résumé
Points clés
- Ensemble des points M(x, f(x)) dans un repère
- Permet de visualiser le comportement de la fonction
- Fonction paire : f(-x) = f(x), symétrie par rapport à Oy
- Fonction impaire : f(-x) = -f(x), symétrie par rapport à O
- Lire image : vertical vers la courbe, horizontal vers Oy
- Lire antécédent : horizontal vers la courbe, vertical vers Ox
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences