Domaines, images et variations

Le domaine de définition est restreint dans plusieurs cas :

• Division par zéro : \( f(x) = \frac{1}{x} \) → Df = ]-∞, 0[ ∪ ]0, +∞[
• Racine carrée de nombres négatifs : \( f(x) = \sqrt{x} \) → Df = [0, +∞[
• Logarithme de nombres négatifs ou nuls : \( f(x) = \ln(x) \) → Df = ]0, +∞[

Pour une fonction rationnelle \( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \), on cherche les valeurs de x telles que Q(x) ≠ 0.

Exemple : \( f(x) = \frac{x+1}{x-2} \) → x ≠ 2, donc Df = ]-∞, 2[ ∪ ]2, +∞[

Pour une fonction contenant \( \sqrt{u(x)} \), on impose u(x) ≥ 0.

Exemple : \( f(x) = \sqrt{x-3} \) → x - 3 ≥ 0, donc x ≥ 3, Df = [3, +∞[

On combine les conditions de chaque partie de la fonction.

Exemple : \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}} \) → x - 1 > 0 (≠ 0 car au dénominateur), donc Df = ]1, +∞[

L'ensemble image (ou image) d'une fonction f est l'ensemble de toutes les valeurs f(x) que la fonction peut prendre.

On le note Im(f) ou f(Df).

• \( f(x) = x^2 \) → Im(f) = [0, +∞[ (car x² ≥ 0)
• \( f(x) = \sqrt{x} \) → Im(f) = [0, +∞[ (car √x ≥ 0)
• \( f(x) = \sin(x) \) → Im(f) = [-1, 1] (car -1 ≤ sin(x) ≤ 1)

Une fonction f est croissante sur un intervalle I si pour tous x₁, x₂ ∈ I :

Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si pour tous x₁, x₂ ∈ I :

Une fonction f est constante sur un intervalle I si pour tous x₁, x₂ ∈ I :

Un tableau de variations contient :

• La première ligne : les valeurs de x (domaine de définition)
• Des flèches indiquant le sens de variation
• Les valeurs remarquables (extrémums, limites...)

Pour f(x) = 2x - 3 (croissante sur ℝ) :

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

• Si f'(x) > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I
• Si f'(x) < 0 sur I, alors f est strictement décroissante sur I
• Si f'(x) = 0 sur I, alors f est constante sur I

Pour f(x) = x² - 4x + 3 :

f'(x) = 2x - 4

f'(x) = 0 ⇔ x = 2

f'(x) > 0 pour x > 2, f'(x) < 0 pour x < 2

Donc f est décroissante sur ]-∞, 2] et croissante sur [2, +∞[

La courbe représentative d'une fonction f est l'ensemble des points M(x, y) tels que y = f(x).

Elle permet de visualiser le comportement de la fonction : variations, extremums, intersections...

• Une flèche vers le haut dans le tableau correspond à une courbe qui monte
• Une flèche vers le bas dans le tableau correspond à une courbe qui descend
• Un extremum local correspond à un changement de direction de la courbe

La fonction f est définie pour tout x tel que x - 2 ≠ 0.

Donc x ≠ 2.

Pour x ≠ 2 :

Donc f(x) = x + 2 pour x ≠ 2.

La fonction g(x) = x + 2 est strictement croissante sur ℝ.

Donc f est strictement croissante sur ]-∞, 2[ et sur ]2, +∞[.

Comme f(x) = x + 2 pour x ≠ 2, et que x + 2 prend toutes les valeurs sauf 2 + 2 = 4 :

• Domaine : ℝ
• Image : ℝ si a ≠ 0, {b} si a = 0
• Variations : croissante si a > 0, décroissante si a < 0, constante si a = 0

• Domaine : ℝ
• Image : [0, +∞[
• Variations : décroissante sur ]-∞, 0], croissante sur [0, +∞[

• Domaine : [0, +∞[
• Image : [0, +∞[
• Variations : croissante sur [0, +∞[

Soit C(x) le coût total de production de x articles.

Le domaine de définition est [0, +∞[ (quantités positives).

Les variations de C(x) permettent d'étudier l'évolution du coût.

La position d'un objet en mouvement uniforme est donnée par d(t) = vt + d₀.

Le domaine est [0, +∞[ (temps positif).

La fonction est croissante si v > 0, décroissante si v < 0.

L'aire d'un carré de côté x est A(x) = x².

Domaine : ]0, +∞[ (côté positif).

La fonction est croissante, ce qui signifie que l'aire augmente avec le côté.

• Ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) existe
• Attention aux divisions par zéro, racines carrées, logarithmes...

• Ensemble des valeurs f(x) que la fonction peut atteindre
• Correspond à l'ensemble des ordonnées des points de la courbe

• Étudiées à l'aide de la dérivée : f'(x) > 0 ⇒ f croissante
• Représentées dans un tableau de variations