Domaine de Définition
Définition : Ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) existe
\( D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ existe}\} \)
Domaine de définition de f
Exemples :
f(x) = √x → Df = [0, +∞[
f(x) = 1/x → Df = ℝ*
f(x) = ln(x) → Df = ]0, +∞[
f(x) = 1/x → Df = ℝ*
f(x) = ln(x) → Df = ]0, +∞[
Restrictions courantes :
• Division par zéro interdite
• Racine carrée de nombre négatif interdite
• Logarithme de nombre négatif interdit
• Racine carrée de nombre négatif interdite
• Logarithme de nombre négatif interdit
Image d'une Fonction
Ensemble des valeurs prises par f(x)
Noté Im(f) ou f(Df)
Correspond aux ordonnées du graphe
Lié aux extrema de la fonction
Variations d'une Fonction
f \text{ croissante sur } I \Leftrightarrow \forall x_1, x_2 \in I, x_1 \leq x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)
Fonction croissante : Lorsque x augmente, f(x) augmente aussi
Conseils & Astuces
Identifier les restrictions avant de commencer
L'image correspond aux valeurs possibles de f(x)
La dérivée aide à étudier les variations
Un tableau de variations résume tout
Regarder le graphe pour visualiser
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Oublier de préciser le domaine de définition
Erreur 2 :
Confondre domaine et image
Erreur 3 :
Dire qu'une fonction est croissante sans préciser l'intervalle
Tableau de Variations
Exemples Complets
f(x) = x² - 4x + 3 :
• Domaine: ℝ
• f'(x) = 2x - 4, s'annule en x = 2
• Décroissante sur ]-∞, 2], croissante sur [2, +∞[
• Image: [-1, +∞[
• f'(x) = 2x - 4, s'annule en x = 2
• Décroissante sur ]-∞, 2], croissante sur [2, +∞[
• Image: [-1, +∞[
f(x) = 1/(x-1) :
• Domaine: ℝ \ {1}
• Décroissante sur ]-∞, 1[ et sur ]1, +∞[
• Image: ℝ*
• Asymptote verticale en x = 1
• Décroissante sur ]-∞, 1[ et sur ]1, +∞[
• Image: ℝ*
• Asymptote verticale en x = 1
