Fonctions trigonométriques : sinus et cosinus
Introduction
Découvrez les fonctions fondamentales en analyse mathématique
Définition des fonctions trigonométriques
Le cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère orthonormé.
Sur ce cercle, à chaque angle \( \theta \) (en radians), on associe un point M(x, y) tel que :
Définition des fonctions sinus et cosinus
Fonction sinus
La fonction sinus, notée sin, est définie sur ℝ par :
Pour tout réel \( x \), \( \sin(x) \) est l'ordonnée du point du cercle trigonométrique correspondant à l'angle \( x \) radians.
La fonction cosinus, notée cos, est définie sur ℝ par :
Pour tout réel \( x \), \( \cos(x) \) est l'abscisse du point du cercle trigonométrique correspondant à l'angle \( x \) radians.
Propriétés des fonctions sinus et cosinus
Propriétés essentielles
Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur ℝ (l'ensemble des nombres réels).
Pour tout réel \( x \) :
Pour tout réel \( x \) :
Parité des fonctions sinus et cosinus
Fonctions paires et impaires
Pour tout réel \( x \) :
La courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Pour tout réel \( x \) :
La courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Périodicité des fonctions sinus et cosinus
Fonctions périodiques
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période \( 2\pi \).
Pour tout réel \( x \) :
Le nombre \( 2\pi \) est la plus petite période positive pour les fonctions sinus et cosinus.
On dit que ces fonctions sont \( 2\pi \)-périodiques.
Représentation graphique
Courbes des fonctions sinus et cosinus
La courbe de la fonction sinus est appelée sinusoïde.
- Elle oscille entre -1 et 1
- Elle est impaire
- Elle est \( 2\pi \)-périodique
- Elle passe par l'origine (0, 0)
La courbe de la fonction cosinus est appelée cosinusoïde.
- Elle oscille entre -1 et 1
- Elle est paire
- Elle est \( 2\pi \)-périodique
- Elle passe par le point (0, 1)
Valeurs remarquables
Valeurs exactes connues
| Angle (radians) | Angle (degrés) | cos(x) | sin(x) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0° | 1 | 0 |
| π/6 | 30° | √3/2 | 1/2 |
| π/4 | 45° | √2/2 | √2/2 |
| π/3 | 60° | 1/2 | √3/2 |
| π/2 | 90° | 0 | 1 |
Dérivées des fonctions trigonométriques
Dérivées usuelles
La dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus :
La dérivée de la fonction cosinus est l'opposé de la fonction sinus :
- \( (\sin(2x))' = 2\cos(2x) \)
- \( (\cos(x^2))' = -2x\sin(x^2) \)
- \( (\sin(ax + b))' = a\cos(ax + b) \)
Applications physiques
Phénomènes périodiques
Le mouvement d'un oscillateur harmonique (comme un pendule simple ou un ressort) est décrit par une fonction sinus ou cosinus.
Où A est l'amplitude, ω la pulsation, et φ la phase.
Les ondes électromagnétiques, sonores, lumineuses sont souvent modélisées par des fonctions sinus ou cosinus.
Exercice d'application
Problème complet
Soit la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( f(x) = 2\sin(x) + \cos(x) \)
1. Déterminer la période de la fonction \( f \).
2. Calculer la dérivée de \( f \) et dresser son tableau de variations sur \( [0, 2\pi] \).
3. Résoudre l'équation \( f(x) = 0 \) sur \( [0, 2\pi] \).
Solution de l'exercice
Correction détaillée
Les fonctions sinus et cosinus ont pour période \( 2\pi \).
Donc la fonction \( f(x) = 2\sin(x) + \cos(x) \) est aussi \( 2\pi \)-périodique.
La dérivée de \( f \) est :
Pour étudier le signe de \( f'(x) \), on résout \( f'(x) = 0 \) :
Les solutions dans \( [0, 2\pi] \) sont : \( x_1 = \arctan(2) \) et \( x_2 = \arctan(2) + \pi \)
Relations trigonométriques
Formules importantes
Pour tous réels \( a \) et \( b \) :
- \( \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) \)
- \( \sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b) \)
- \( \cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) \)
- \( \cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) \)
Pour tout réel \( x \) :
- \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \)
- \( \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x) \)
Résolution d'équations trigonométriques
Méthodes de résolution
Soit \( a \in [-1, 1] \). Les solutions de \( \sin(x) = a \) sont :
- \( x = \arcsin(a) + 2k\pi \) où \( k \in \mathbb{Z} \)
- \( x = \pi - \arcsin(a) + 2k\pi \) où \( k \in \mathbb{Z} \)
Soit \( a \in [-1, 1] \). Les solutions de \( \cos(x) = a \) sont :
- \( x = \arccos(a) + 2k\pi \) où \( k \in \mathbb{Z} \)
- \( x = -\arccos(a) + 2k\pi \) où \( k \in \mathbb{Z} \)
Exercices supplémentaires
Entraînement
Calculer : \( \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) \), \( \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) \), \( \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \)
Soit \( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \). Montrer que \( g(x) = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \)
Résoudre sur \( [0, 2\pi] \) : \( \sin(x) = \cos(x) \)
Résumé
Points clés
- Sin(x) est l'ordonnée du point du cercle trigonométrique associé à l'angle x
- cos(x) est l'abscisse du point du cercle trigonométrique associé à l'angle x
- Les deux sont définies sur ℝ et prennent leurs valeurs dans [-1, 1]
- Identité trigonométrique : \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \)
- Sin est impaire : \( \sin(-x) = -\sin(x) \)
- cos est paire : \( \cos(-x) = \cos(x) \)
- Les deux sont \( 2\pi \)-périodiques
- \( (\sin(x))' = \cos(x) \)
- \( (\cos(x))' = -\sin(x) \)
- Modélisent les phénomènes périodiques
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences