Fonction exponentielle et logarithme | Mathématiques 1ère

La fonction exponentielle, notée exp ou x ↦ eˣ, est l'unique fonction f dérivable sur ℝ telle que :

• f'(x) = f(x) (la fonction est égale à sa dérivée)
• f(0) = 1

Le nombre e est une constante irrationnelle environ égale à 2,71828...

Pour tous réels x et y :

• e^(x+y) = eˣ × eʸ
• e^(x-y) = eˣ / eʸ
• e^(xy) = (eˣ)ʸ
• e^0 = 1
• e^(-x) = 1/eˣ

La courbe de la fonction exponentielle a les caractéristiques suivantes :

• Elle est strictement croissante sur ℝ
• Elle est toujours positive : eˣ > 0 pour tout x ∈ ℝ
• Elle passe par le point (0, 1)
• Elle a une croissance très rapide

La fonction exponentielle est sa propre dérivée :

Pour une fonction composée : (e^(u(x)))' = u'(x) × e^(u(x))

• lim (x→+∞) eˣ = +∞
• lim (x→-∞) eˣ = 0
• lim (x→0) (eˣ - 1)/x = 1

La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ car sa dérivée eˣ est toujours strictement positive.

Elle est bijective de ℝ vers ]0, +∞[.

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Pour tout x > 0, ln(x) est l'unique réel y tel que eʸ = x.

ln : ]0, +∞[ → ℝ

Pour tous réels strictement positifs a et b, et tout réel r :

• ln(ab) = ln(a) + ln(b)
• ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
• ln(aʳ) = r × ln(a)
• ln(1) = 0
• ln(e) = 1

Pour tout x ∈ ℝ : ln(eˣ) = x

Pour tout x > 0 : e^(ln(x)) = x

Les fonctions ln et exp sont réciproques l'une de l'autre.

La dérivée du logarithme népérien est :

Pour une fonction composée : (ln(u(x)))' = u'(x)/u(x) (où u(x) > 0)

• lim (x→+∞) ln(x) = +∞
• lim (x→0⁺) ln(x) = -∞
• lim (x→1) (ln(x))/(x - 1) = 1

La fonction logarithme est strictement croissante sur ]0, +∞[ car sa dérivée 1/x est strictement positive sur cet intervalle.

Elle est bijective de ]0, +∞[ vers ℝ.

Pour résoudre eˣ = a (où a > 0) : x = ln(a)

Exemple : eˣ = 5 ⇒ x = ln(5)

Pour résoudre eᵘ = eᵛ : u = v

Exemple : e^(2x+1) = e^(x-3) ⇒ 2x + 1 = x - 3 ⇒ x = -4

Pour résoudre ln(x) = a : x = eᵃ

Exemple : ln(x) = 2 ⇒ x = e²

Pour résoudre ln(u) = ln(v) : u = v (avec u, v > 0)

Exemple : ln(x) = ln(3) ⇒ x = 3 (et x > 0)

Puisque exp est strictement croissante : eᵘ < eᵛ ⇔ u < v

Puisque ln est strictement croissante : ln(u) < ln(v) ⇔ u < v (avec u, v > 0)

Exemple : eˣ > 3 ⇒ x > ln(3)

Exemple : ln(x) < 2 ⇒ x < e² et x > 0 ⇒ x ∈ ]0, e²[

f(x) = eˣ - 2x

f'(x) = eˣ - 2

f'(x) = 0 ⟺ eˣ = 2 ⟺ x = ln(2)

f'(x) > 0 ⟺ eˣ > 2 ⟺ x > ln(2)

f'(x) < 0 ⟺ eˣ < 2 ⟺ x < ln(2)

Donc f est décroissante sur ]-∞, ln(2)[ et croissante sur ]ln(2), +∞[.

eˣ = 2x ⟺ eˣ - 2x = 0 ⟺ f(x) = 0

On a f(ln(2)) = e^(ln(2)) - 2ln(2) = 2 - 2ln(2) = 2(1 - ln(2))

Puisque ln(2) ≈ 0,69 < 1, on a f(ln(2)) > 0

Quand x → -∞, f(x) → +∞

Quand x → +∞, f(x) → +∞

Puisque f est continue et f(ln(2)) > 0, l'équation f(x) = 0 n'a pas de solution.

g(x) = ln(x) + x

g'(x) = 1/x + 1 = (1 + x)/x

Pour x > 0, g'(x) > 0, donc g est strictement croissante sur ]0, +∞[.

Quand x → 0⁺, g(x) → -∞

Quand x → +∞, g(x) → +∞

Donc l'équation g(x) = 0 admet une unique solution α ∈ ]0, +∞[.

L'exponentielle l'emporte sur les fonctions puissances :

• lim (x→+∞) eˣ/x = +∞
• lim (x→+∞) eˣ/xⁿ = +∞ pour tout n ∈ ℕ
• lim (x→-∞) xeˣ = 0
• lim (x→-∞) xⁿeˣ = 0 pour tout n ∈ ℕ

Le logarithme l'emporte sur les fonctions puissances de degré inférieur à 1 :

• lim (x→+∞) ln(x)/x = 0
• lim (x→+∞) ln(x)/xⁿ = 0 pour tout n > 0
• lim (x→0⁺) x ln(x) = 0
• lim (x→1) (ln(x))/(x - 1) = 1

Quand x → +∞, l'ordre de croissance est :

ln(x) ≪ x ≪ x² ≪ ... ≪ xⁿ ≪ eˣ

Où "≪" signifie "négligeable devant".

• Utiliser les limites de croissances comparées pour la question 1
• Factoriser pour la question 2
• Calculer la dérivée pour l'étude des variations
• Utiliser les variations pour établir l'inégalité

f(x) = x ln(x) - x + 1

On sait que lim(x→0⁺) x ln(x) = 0

Donc lim(x→0⁺) f(x) = 0 - 0 + 1 = 1

f(x) = x(ln(x) - 1) - x + 1 = x ln(x) - 2x + 1

f(x) = x(ln(x) - 2 + 1/x)

Quand x → +∞, ln(x) → +∞, donc ln(x) - 2 + 1/x → +∞

Donc lim(x→+∞) f(x) = +∞

f'(x) = ln(x) + x × (1/x) - 1 = ln(x) + 1 - 1 = ln(x)

f'(x) = 0 ⟺ ln(x) = 0 ⟺ x = 1

f'(x) > 0 ⟺ ln(x) > 0 ⟺ x > 1

f'(x) < 0 ⟺ ln(x) < 0 ⟺ 0 < x < 1

Donc f est décroissante sur ]0, 1[ et croissante sur ]1, +∞[.

Le minimum de f est atteint en x = 1.

f(1) = 1 × ln(1) - 1 + 1 = 0

Donc f(x) ≥ f(1) = 0 pour tout x ∈ ]0, +∞[.

On a donc : x ln(x) - x + 1 ≥ 0, soit x ln(x) ≥ x - 1

La croissance d'un capital à taux fixe suit une loi exponentielle : C(t) = C₀e^(rt), où C₀ est le capital initial, r le taux d'intérêt, et t le temps.

Le logarithme permet de résoudre des équations de croissance pour déterminer des durées ou des taux.

La décroissance radioactive suit une loi exponentielle : N(t) = N₀e^(-λt), où λ est la constante de désintégration.

La fonction logarithme est utilisée pour mesurer des échelles logarithmiques (pH, décibels, magnitude des séismes).

La loi normale et la loi exponentielle impliquent des fonctions exponentielles.

Le logarithme est utilisé dans les transformations de variables aléatoires.

• Calculer la dérivée et étudier son signe
• Utiliser les variations pour établir les inégalités
• Identifier les points d'égalité

h(x) = eˣ - x - 1

h'(x) = eˣ - 1

h'(x) = 0 ⟺ eˣ = 1 ⟺ x = 0

h'(x) > 0 ⟺ eˣ > 1 ⟺ x > 0

h'(x) < 0 ⟺ eˣ < 1 ⟺ x < 0

Donc h est décroissante sur ]-∞, 0[ et croissante sur ]0, +∞[.

Le minimum de h est atteint en x = 0.

h(0) = e⁰ - 0 - 1 = 1 - 1 = 0

Donc h(x) ≥ h(0) = 0 pour tout x ∈ ℝ.

Donc eˣ - x - 1 ≥ 0, soit eˣ ≥ x + 1 pour tout x ∈ ℝ.

L'égalité a lieu si et seulement si x = 0.

k(x) = ln(x) - (x - 1) = ln(x) - x + 1

k'(x) = 1/x - 1 = (1 - x)/x

Pour x > 0, k'(x) = 0 ⟺ 1 - x = 0 ⟺ x = 1

k'(x) > 0 ⟺ 1 - x > 0 ⟺ x < 1

k'(x) < 0 ⟺ 1 - x < 0 ⟺ x > 1

Donc k est croissante sur ]0, 1[ et décroissante sur ]1, +∞[.

Le maximum de k est atteint en x = 1.

k(1) = ln(1) - 1 + 1 = 0

Donc k(x) ≤ k(1) = 0 pour tout x > 0.

Donc ln(x) - (x - 1) ≤ 0, soit ln(x) ≤ x - 1 pour tout x > 0.

L'égalité a lieu si et seulement si x = 1.

• exp : ℝ → ℝ*, x ↦ eˣ
• exp est strictement croissante
• exp est sa propre dérivée
• exp transforme les sommes en produits
• exp(x) > 0 pour tout x

• ln : ℝ*₊ → ℝ, x ↦ ln(x)
• ln est strictement croissante
• ln'(x) = 1/x
• ln transforme les produits en sommes
• ln(1) = 0, ln(e) = 1

• exp et ln sont réciproques l'une de l'autre
• ∀x ∈ ℝ, ln(eˣ) = x
• ∀x > 0, e^(ln(x)) = x
• ln(aˣ) = x ln(a) pour a > 0