Fonction Exponentielle
Définition : f(x) = eˣ où e ≈ 2.71828...
\( f(x) = e^x \)
Fonction exponentielle naturelle
Propriétés :
• Dérivée: (eˣ)' = eˣ
• Strictement croissante
• e⁰ = 1
• eˣ > 0 pour tout x
• Strictement croissante
• e⁰ = 1
• eˣ > 0 pour tout x
Exemples :
e¹ = e ≈ 2.718
e² ≈ 7.389
e⁻¹ = 1/e ≈ 0.368
e² ≈ 7.389
e⁻¹ = 1/e ≈ 0.368
Fonction Logarithme Népérien
ln(x) est la fonction réciproque de eˣ
Strictement croissante sur ]0,+∞[
ln(1) = 0
(ln x)' = 1/x
Propriétés Algébriques
\( e^{a+b} = e^a \cdot e^b \)
\( \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \)
\( \ln(a^n) = n\ln(a) \)
Relation fondamentale : e^(ln x) = x pour x > 0 et ln(eˣ) = x pour tout x
Conseils & Astuces
ln(eˣ) = x mais e^(ln x) seulement pour x > 0
Domaine de ln(x): ]0,+∞[
eˣ est toujours positif
Croissance exponentielle très rapide
Utiliser ln pour résoudre aˣ = b
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
ln(a+b) ≠ ln(a) + ln(b)
Erreur 2 :
ln(-1) n'existe pas
Erreur 3 :
(eˣ)² ≠ e^(x²)
Comparaison des Graphes
Applications Pratiques
Exponentielle :
• Croissance démographique: P(t) = P₀e^(rt)
• Intérêts composés: A = Pe^(rt)
• Désintégration radioactive: N(t) = N₀e^(-λt)
• Intérêts composés: A = Pe^(rt)
• Désintégration radioactive: N(t) = N₀e^(-λt)
Logarithme :
• Échelle de pH: pH = -log[H⁺]
• Décibels: L = 10log(I/I₀)
• Résolution d'équations: 2ˣ = 5 → x = ln(5)/ln(2)
• Décibels: L = 10log(I/I₀)
• Résolution d'équations: 2ˣ = 5 → x = ln(5)/ln(2)
