Nombre dérivé et tangente

Le taux d'accroissement représente le coefficient directeur de la droite reliant deux points proches de la courbe. Plus h est petit, plus cette droite se rapproche de la tangente.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I. On dit que f est dérivable en a si la limite du taux d'accroissement en a existe et est finie :

Cette limite, notée f'(a), est le nombre dérivé de f en a.

On peut aussi écrire le nombre dérivé avec un changement de variable :

Si f est dérivable en a, alors la tangente à la courbe de f au point A(a, f(a)) a pour équation :

ou encore : \( y = f'(a)x + [f(a) - af'(a)] \)

Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur (pente) de la tangente au point d'abscisse a.

Il représente la "vitesse instantanée" de la fonction en ce point.

1. Calculer f(a+h) et f(a)

2. Former le taux d'accroissement : \( \tau(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)

3. Simplifier l'expression (factoriser, développer, etc.)

4. Calculer la limite quand h tend vers 0

f(2) = 4, f(2+h) = (2+h)² = 4 + 4h + h²

Taux d'accroissement : \( \tau(h) = \frac{(4 + 4h + h²) - 4}{h} = \frac{4h + h²}{h} = 4 + h \)

Limite quand h → 0 : f'(2) = 4

La tangente "effleure" la courbe au point de contact. Elle est la meilleure approximation linéaire de la fonction au voisinage de ce point.

La tangente peut traverser la courbe ailleurs, mais en le point de contact, elle est "collée" à la courbe.

• Si f'(a) > 0 : la tangente est croissante (fonction croissante)
• Si f'(a) < 0 : la tangente est décroissante (fonction décroissante)
• Si f'(a) = 0 : la tangente est horizontale (point critique)

f(2) = 3×2 + 1 = 7

f(2+h) = 3(2+h) + 1 = 6 + 3h + 1 = 7 + 3h

Taux d'accroissement : \( \tau(h) = \frac{(7 + 3h) - 7}{h} = \frac{3h}{h} = 3 \)

Donc f'(2) = 3

L'équation de la tangente est : y = 3(x - 2) + 7 = 3x + 1

f(-1) = (-1)² = 1

f(-1+h) = (-1+h)² = 1 - 2h + h²

Taux d'accroissement : \( \tau(h) = \frac{(1 - 2h + h²) - 1}{h} = \frac{-2h + h²}{h} = -2 + h \)

Donc f'(-1) = -2

L'équation de la tangente est : y = -2(x - (-1)) + 1 = -2(x + 1) + 1 = -2x - 1

Si x(t) est la position d'un objet en fonction du temps, alors x'(t) est sa vitesse instantanée.

La dérivée permet de passer de la position à la vitesse.

La dérivée d'une fonction de profit permet de trouver la quantité optimale de production.

Les points où la dérivée s'annule sont des candidats pour des extremums.

La tangente permet d'approximer la fonction au voisinage d'un point : f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a)

Cette approximation est utile pour estimer des valeurs.

f(1) = 1² - 4×1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0

f(1+h) = (1+h)² - 4(1+h) + 3 = 1 + 2h + h² - 4 - 4h + 3 = h² - 2h

Taux d'accroissement : \( \tau(h) = \frac{(h² - 2h) - 0}{h} = \frac{h² - 2h}{h} = h - 2 \)

Donc f'(1) = lim(h→0) (h - 2) = -2

Le point de tangence est (1, f(1)) = (1, 0)

La pente est f'(1) = -2

Équation de la tangente : y = f'(1)(x - 1) + f(1) = -2(x - 1) + 0 = -2x + 2

f'(3) = lim(h→0) [(3+h)² - 4(3+h) + 3 - (9 - 12 + 3)] / h = lim(h→0) [6h + h² - 4h] / h = lim(h→0) (2h + h²) / h = lim(h→0) (2 + h) = 2

En x = 1, la tangente a une pente négative (-2), la fonction est décroissante.

En x = 3, la tangente a une pente positive (2), la fonction est croissante.

Si une fonction f est dérivable en un point a, alors f est continue en a.

Cependant, la réciproque est fausse : une fonction continue en a n'est pas nécessairement dérivable en a.

La fonction f(x) = |x| est continue en 0 mais n'est pas dérivable en 0.

En effet, les taux d'accroissement à gauche et à droite de 0 tendent vers des valeurs différentes (-1 et +1).

\( \tau(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \) mesure la pente de la sécante

\( f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \) est la pente de la tangente

\( y = f'(a)(x - a) + f(a) \)