Nombre Dérivé
Définition : f'(a) = lim[h→0] (f(a+h) - f(a))/h
\( f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)
Nombre dérivé en a
Exemples :
f(x) = x² → f'(x) = 2x
f(x) = 3x + 2 → f'(x) = 3
f(x) = x³ → f'(x) = 3x²
f(x) = 3x + 2 → f'(x) = 3
f(x) = x³ → f'(x) = 3x²
Interprétation :
• Taux d'accroissement instantané
• Coefficient directeur de la tangente
• Vitesse instantanée (si f est position)
• Coefficient directeur de la tangente
• Vitesse instantanée (si f est position)
Tangente à une Courbe
Équation: y = f'(a)(x-a) + f(a)
Passe par A(a, f(a))
Coefficient directeur: f'(a)
Meilleure approximation affine
Calcul de Dérivées
(x^n)' = nx^{n-1}
(u+v)' = u' + v'
(ku)' = ku'
Conditions d'existence : f doit être continue en a et le taux d'accroissement doit admettre une limite finie
Conseils & Astuces
f'(a) représente la pente de la tangente
La tangente est la limite des sécantes
Si f'(a) = 0, tangente horizontale
f'(a) > 0 ⇒ f croissante en a
Utiliser la dérivée pour étudier les variations
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Confondre f(a) et f'(a)
Erreur 2 :
Oublier de vérifier la continuité
Erreur 3 :
Calculer f'(a) sans existence
Exemples de Tangentes
Applications Pratiques
Physique :
• Vitesse: dérivée de la position
• Accélération: dérivée de la vitesse
• Taux de variation instantané
• Accélération: dérivée de la vitesse
• Taux de variation instantané
Économie :
• Coût marginal: dérivée du coût total
• Productivité marginale
• Taux de croissance instantané
• Productivité marginale
• Taux de croissance instantané
