Nombre dérivé : Le nombre dérivé de \(f\) en \(a\) est la limite du taux d'accroissement quand \(h\) tend vers 0 : \(f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\).
Pour \(f(x) = x^2 - 3x + 2\) et \(a = 2\) :
\(f(2) = 2^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0\)
\(f(2+h) = (2+h)^2 - 3(2+h) + 2 = 4 + 4h + h^2 - 6 - 3h + 2 = h^2 + h\)
\(\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{h^2 + h - 0}{h} = \frac{h(h + 1)}{h} = h + 1\)
\(f'(2) = \lim_{h \to 0} (h + 1) = 0 + 1 = 1\)
\(f'(x) = 2x - 3\)
\(f'(2) = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1\) ✓
Le nombre dérivé de \(f(x) = x^2 - 3x + 2\) en \(x = 2\) est \(f'(2) = 1\).
• Taux d'accroissement : \(\frac{f(a+h) - f(a)}{h}\)
• Limite : Calculer la limite du taux d'accroissement
• Vérification : On peut aussi dériver directement la fonction
Équation de tangente : La tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation : \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).
\(f(x) = x^3\)
\(f(1) = 1^3 = 1\)
\(f'(x) = 3x^2\)
\(f'(1) = 3(1)^2 = 3\)
L'équation de la tangente est :
\(y = f'(1)(x-1) + f(1)\)
\(y = 3(x-1) + 1\)
\(y = 3x - 3 + 1\)
\(y = 3x - 2\)
Au point (1, 1) : \(y = 3(1) - 2 = 1\) ✓
La pente est 3, ce qui correspond à \(f'(1) = 3\) ✓
L'équation de la tangente à la courbe de \(f(x) = x^3\) au point d'abscisse 1 est \(y = 3x - 2\).
• Équation de tangente : \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\)
• Dérivée : \((x^n)' = nx^{n-1}\)
• Interprétation : \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente
Fonction inverse : La fonction \(f(x) = \frac{1}{x}\) a pour dérivée \(f'(x) = -\frac{1}{x^2}\) sur \(\mathbb{R}^*\).
\(f(3) = \frac{1}{3}\)
\(f(3+h) = \frac{1}{3+h}\)
\(\frac{f(3+h) - f(3)}{h} = \frac{\frac{1}{3+h} - \frac{1}{3}}{h}\)
\(= \frac{\frac{3 - (3+h)}{3(3+h)}}{h} = \frac{\frac{-h}{3(3+h)}}{h} = \frac{-h}{3(3+h)} \cdot \frac{1}{h} = \frac{-1}{3(3+h)}\)
\(f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{3(3+h)} = \frac{-1}{3(3+0)} = \frac{-1}{9}\)
On sait que \(\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}\)
Donc \(f'(3) = -\frac{1}{3^2} = -\frac{1}{9}\) ✓
Le nombre dérivé de \(f(x) = \frac{1}{x}\) en \(x = 3\) est \(f'(3) = -\frac{1}{9}\).
• Fonction inverse : \(\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}\)
• Taux d'accroissement : Calculer \(\frac{f(a+h) - f(a)}{h}\) et simplifier
• Calcul algébrique : Manipuler les fractions rationnelles
Fonction racine carrée : La fonction \(f(x) = \sqrt{x}\) a pour dérivée \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) sur \(]0; +\infty[\).
\(f(4) = \sqrt{4} = 2\)
\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}\)
Équation de la tangente :
\(y = f'(4)(x-4) + f(4)\)
\(y = \frac{1}{4}(x-4) + 2\)
\(y = \frac{1}{4}x - 1 + 2\)
\(y = \frac{1}{4}x + 1\)
Au point (4, 2) : \(y = \frac{1}{4}(4) + 1 = 1 + 1 = 2\) ✓
La pente est \(\frac{1}{4}\), ce qui correspond à \(f'(4) = \frac{1}{4}\) ✓
L'équation de la tangente à la courbe de \(f(x) = \sqrt{x}\) au point d'abscisse 4 est \(y = \frac{1}{4}x + 1\).
• Fonction racine : \((\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
• Équation de tangente : \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\)
• Calcul : Manipuler les expressions avec radicaux
Interprétation graphique : Le nombre dérivé \(f'(a)\) représente la pente de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\).
\(f(x) = x^2 - 4x + 1\)
\(f'(x) = 2x - 4\)
\(f'(2) = 2(2) - 4 = 4 - 4 = 0\)
Le nombre dérivé \(f'(2) = 0\) signifie que la tangente à la courbe au point d'abscisse 2 est horizontale (pente nulle).
Le point d'abscisse 2 est \(f(2) = 4 - 8 + 1 = -3\), donc le point est (2, -3)
L'équation de la tangente est : \(y = 0(x-2) + (-3) = -3\)
C'est bien une droite horizontale !
Puisque \(f'(2) = 0\) et que \(f\) est une fonction du second degré avec \(a = 1 > 0\), le point (2, -3) est un minimum de la fonction.
\(f'(2) = 0\). Graphiquement, cela signifie que la tangente à la courbe au point d'abscisse 2 est horizontale. Le point (2, -3) est un minimum de la fonction.
• Interprétation : \(f'(a) = 0\) ⇒ tangente horizontale
• Extremum : Si \(f'(a) = 0\) et que la fonction est une parabole, c'est un extremum
• Géométrie : La dérivée donne la pente de la tangente en un point
- Dérivée directe : Utiliser les formules de dérivation usuelles
- Définition : Calculer la limite du taux d'accroissement
- Équation de tangente : \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\)
- Interprétation : Lien entre f'(a) et le sens de variation
- Approximation : \(f(a+h) \approx f(a) + f'(a) \cdot h\) pour h petit
- \((x^n)' = nx^{n-1}\) pour tout entier \(n \geq 1\)
- \(\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}\) sur \(\mathbb{R}^*\)
- \((\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) sur \(]0; +\infty[\)
- Si \(f'(a) = 0\), la tangente est horizontale
- Si \(f'(a) > 0\), la fonction est localement croissante
- Si \(f'(a) < 0\), la fonction est localement décroissante
