Dérivée d'un polynôme : La dérivée d'un polynôme se calcule terme à terme en utilisant la formule \((ax^n)' = nax^{n-1}\). La dérivée d'une constante est nulle.
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \(c\) (constante) | \(0\) |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) |
| \(ax^n\) | \(nax^{n-1}\) |
\(f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7\)
- Terme 1 : \(3x^4\)
- Terme 2 : \(-2x^3\)
- Terme 3 : \(5x\)
- Terme 4 : \(-7\)
\((3x^4)' = 4 \cdot 3x^{4-1} = 12x^3\)
\((-2x^3)' = 3 \cdot (-2)x^{3-1} = -6x^2\)
\((5x)' = 1 \cdot 5x^{1-1} = 5\)
\((-7)' = 0\)
\(f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 5 + 0 = 12x^3 - 6x^2 + 5\)
On peut vérifier en calculant \(f'(0) = 5\), \(f'(1) = 12 - 6 + 5 = 11\) etc.
La dérivée de \(f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7\) est \(f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 5\).
• Dérivée d'un polynôme : Dérive terme à terme
• Formule de base : \((x^n)' = nx^{n-1}\)
• Constante : La dérivée d'une constante est 0
Fonctions usuelles : \((\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) et \(\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}\).
\(f(x) = \sqrt{x} + \frac{2}{x} = x^{1/2} + 2x^{-1}\)
\((x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\((2x^{-1})' = 2 \cdot (-1)x^{-1-1} = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}\)
\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{x^2}\)
\(\sqrt{x}\) existe pour \(x \geq 0\)
\(\frac{2}{x}\) existe pour \(x \neq 0\)
Donc \(D_f = ]0; +\infty[\)
De même, \(D_{f'} = ]0; +\infty[\)
Pour \(x = 1\) : \(f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} - \frac{2}{1^2} = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}\)
La dérivée de \(f(x) = \sqrt{x} + \frac{2}{x}\) est \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{x^2}\) sur l'intervalle \(]0; +\infty[\).
• Racine carrée : \((\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
• Fonction inverse : \(\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}\)
• Domaine de définition : Vérifier que les expressions existent
Fonction rationnelle : Pour \(\frac{u(x)}{v(x)}\), la dérivée est \(\frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}\). On peut aussi simplifier avant de dériver.
\(f(x) = \frac{3x^2 + 1}{x} = \frac{3x^2}{x} + \frac{1}{x} = 3x + \frac{1}{x}\)
\((3x)' = 3\)
\(\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}\)
\(f'(x) = 3 - \frac{1}{x^2}\)
\(u(x) = 3x^2 + 1\), \(v(x) = x\)
\(u'(x) = 6x\), \(v'(x) = 1\)
\(f'(x) = \frac{(6x)(x) - (3x^2 + 1)(1)}{x^2} = \frac{6x^2 - 3x^2 - 1}{x^2} = \frac{3x^2 - 1}{x^2} = 3 - \frac{1}{x^2}\)
Les deux méthodes donnent le même résultat ✓
La dérivée de \(f(x) = \frac{3x^2 + 1}{x}\) est \(f'(x) = 3 - \frac{1}{x^2}\) sur \(\mathbb{R}^*\).
• Simplification : Parfois, il est plus simple de simplifier avant de dériver
• Formule du quotient : \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
• Domaine de définition : \(x \neq 0\) pour la fonction et sa dérivée
Fonction composée : Pour \(f(x) = [u(x)]^n\), la dérivée est \(f'(x) = n[u(x)]^{n-1} \cdot u'(x)\). C'est la dérivation d'une fonction composée.
\(f(x) = (2x - 1)^3\)
C'est de la forme \([u(x)]^3\) avec \(u(x) = 2x - 1\)
\(u(x) = 2x - 1\)
\(u'(x) = 2\)
\(f'(x) = 3[u(x)]^{3-1} \cdot u'(x) = 3(2x - 1)^2 \cdot 2 = 6(2x - 1)^2\)
\(f'(x) = 6(2x - 1)^2 = 6(4x^2 - 4x + 1) = 24x^2 - 24x + 6\)
Pour \(x = 0\) : \(f'(0) = 6(0-1)^2 = 6(1) = 6\)
Ou : \(f'(0) = 24(0)^2 - 24(0) + 6 = 6\) ✓
La dérivée de \(f(x) = (2x - 1)^3\) est \(f'(x) = 6(2x - 1)^2\).
• Fonction composée : \([u(x)]^n\) a pour dérivée \(n[u(x)]^{n-1} \cdot u'(x)\)
• Chaîne de dérivation : Dérivée de l'extérieur fois dérivée de l'intérieur
• Formule générale : \((u^n)' = nu^{n-1} \cdot u'\)
Fonction produit : Pour \(f(x) = u(x) \cdot v(x)\), la dérivée est \(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\).
\(f(x) = x^2\sqrt{x}\)
\(u(x) = x^2\) et \(v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}\)
\(u'(x) = 2x\)
\(v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\)
\(f'(x) = (2x)(\sqrt{x}) + (x^2)\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\)
\(f'(x) = 2x\sqrt{x} + \frac{x^2}{2\sqrt{x}}\)
\(f'(x) = 2x\sqrt{x} + \frac{x^2}{2\sqrt{x}} = \frac{4x\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{x^2}{2\sqrt{x}} = \frac{4x^2}{2\sqrt{x}} + \frac{x^2}{2\sqrt{x}} = \frac{5x^2}{2\sqrt{x}}\)
Ou : \(f'(x) = 2x\sqrt{x} + \frac{x\sqrt{x}}{2} = \frac{4x\sqrt{x} + x\sqrt{x}}{2} = \frac{5x\sqrt{x}}{2}\)
On peut aussi écrire : \(f(x) = x^2 \cdot x^{1/2} = x^{5/2}\)
Donc : \(f'(x) = \frac{5}{2}x^{3/2} = \frac{5x\sqrt{x}}{2}\) ✓
La dérivée de \(f(x) = x^2\sqrt{x}\) est \(f'(x) = \frac{5x\sqrt{x}}{2}\) sur \(]0; +\infty[\).
• Fonction produit : \((uv)' = u'v + uv'\)
• Simplification : Utiliser les propriétés des exposants
• Vérification : Réécrire la fonction pour confirmer le résultat
- Somme : Dérive terme à terme
- Produit : Utiliser la formule \((uv)' = u'v + uv'\)
- Quotient : Appliquer la formule du quotient
- Composition : Règle de la chaîne : \(f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
- Puissance : \([u(x)]^n\) a pour dérivée \(n[u(x)]^{n-1} \cdot u'(x)\)
- \((x^n)' = nx^{n-1}\) pour tout réel n
- \((\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) pour \(x > 0\)
- \(\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}\) pour \(x \neq 0\)
- \((af)' = af'\) pour une constante a
- \((u + v)' = u' + v'\)
