Formule du produit : Pour deux fonctions \(u\) et \(v\), la dérivée du produit est \((uv)' = u'v + uv'\).
\(u(x) = x^2 + 3x\) et \(v(x) = 2x - 1\)
\(u'(x) = 2x + 3\)
\(v'(x) = 2\)
\(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\)
\(f'(x) = (2x + 3)(2x - 1) + (x^2 + 3x)(2)\)
\(f'(x) = (2x + 3)(2x - 1) + 2(x^2 + 3x)\)
\(f'(x) = 4x^2 - 2x + 6x - 3 + 2x^2 + 6x\)
\(f'(x) = 6x^2 + 10x - 3\)
On peut aussi développer le produit initial :
\(f(x) = (x^2 + 3x)(2x - 1) = 2x^3 - x^2 + 6x^2 - 3x = 2x^3 + 5x^2 - 3x\)
\(f'(x) = 6x^2 + 10x - 3\) ✓
La dérivée de \(f(x) = (x^2 + 3x)(2x - 1)\) est \(f'(x) = 6x^2 + 10x - 3\).
• Formule du produit : \((uv)' = u'v + uv'\)
• Dérivation : Calculer \(u'\) et \(v'\) individuellement
• Simplification : Développer et réduire l'expression finale
Formule du quotient : Pour deux fonctions \(u\) et \(v\) avec \(v(x) \neq 0\), la dérivée du quotient est \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).
\(u(x) = x^2 + 1\) et \(v(x) = x - 2\)
\(u'(x) = 2x\)
\(v'(x) = 1\)
\(f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}\)
\(f'(x) = \frac{(2x)(x - 2) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 2)^2}\)
\(f'(x) = \frac{2x^2 - 4x - x^2 - 1}{(x - 2)^2}\)
\(f'(x) = \frac{x^2 - 4x - 1}{(x - 2)^2}\)
La fonction est définie pour \(x \neq 2\)
La dérivée est également définie pour \(x \neq 2\)
La dérivée de \(f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}\) est \(f'(x) = \frac{x^2 - 4x - 1}{(x - 2)^2}\) sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\).
• Formule du quotient : \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
• Domaine de définition : \(v(x) \neq 0\) pour la fonction et sa dérivée
• Calcul : Attention au signe dans le numérateur
Fonction composée : Pour \(f(x) = [u(x)]^n\), la dérivée est \(f'(x) = n[u(x)]^{n-1} \cdot u'(x)\). C'est une application de la règle de la chaîne.
\(f(x) = (3x^2 - 2)^4\) est de la forme \([u(x)]^4\) avec \(u(x) = 3x^2 - 2\)
\(u'(x) = 6x\)
\(f'(x) = 4[u(x)]^{4-1} \cdot u'(x)\)
\(f'(x) = 4(3x^2 - 2)^3 \cdot 6x\)
\(f'(x) = 24x(3x^2 - 2)^3\)
Pour \(f(x) = [u(x)]^n\), on a : \(f'(x) = n[u(x)]^{n-1} \cdot u'(x)\)
Pour \(x = 0\) : \(f'(0) = 24(0)(-2)^3 = 0\)
On peut vérifier que la fonction admet un extremum en 0
La dérivée de \(f(x) = (3x^2 - 2)^4\) est \(f'(x) = 24x(3x^2 - 2)^3\).
• Fonction composée : \([u(x)]^n\) a pour dérivée \(n[u(x)]^{n-1} \cdot u'(x)\)
• Règle de la chaîne : Dérivée de l'extérieur fois dérivée de l'intérieur
• Application : Cas particulier de la dérivation composée
Quotient de fonctions : Même formule \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) que pour les cas précédents.
\(u(x) = 2x\) et \(v(x) = x^2 + 1\)
\(u'(x) = 2\)
\(v'(x) = 2x\)
\(f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}\)
\(f'(x) = \frac{(2)(x^2 + 1) - (2x)(2x)}{(x^2 + 1)^2}\)
\(f'(x) = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2}\)
\(f'(x) = \frac{-2x^2 + 2}{(x^2 + 1)^2}\)
\(f'(x) = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 1 - x^2 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
\(f'(x) > 0\) sur \([-1, 1]\) (fonction croissante)
\(f'(x) < 0\) sur \((-\infty, -1) \cup (1, +\infty)\) (fonction décroissante)
La dérivée de \(f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\) est \(f'(x) = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}\).
• Formule du quotient : \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
• Simplification : Factoriser le numérateur pour une meilleure compréhension
• Étude des variations : Le signe de la dérivée détermine les variations
Produit de fonctions composées : On combine la formule du produit et la dérivation des fonctions composées.
\(f(x) = x^2\sqrt{2x + 3}\) est un produit de \(u(x) = x^2\) et \(v(x) = \sqrt{2x + 3}\)
\(u'(x) = 2x\)
\(v(x) = \sqrt{2x + 3} = (2x + 3)^{1/2}\)
\(v'(x) = \frac{1}{2}(2x + 3)^{-1/2} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 3}}\)
\(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\)
\(f'(x) = (2x)\sqrt{2x + 3} + (x^2)\frac{1}{\sqrt{2x + 3}}\)
\(f'(x) = 2x\sqrt{2x + 3} + \frac{x^2}{\sqrt{2x + 3}}\)
\(f'(x) = \frac{2x\sqrt{2x + 3} \cdot \sqrt{2x + 3}}{\sqrt{2x + 3}} + \frac{x^2}{\sqrt{2x + 3}}\)
\(f'(x) = \frac{2x(2x + 3) + x^2}{\sqrt{2x + 3}}\)
\(f'(x) = \frac{4x^2 + 6x + x^2}{\sqrt{2x + 3}} = \frac{5x^2 + 6x}{\sqrt{2x + 3}}\)
La dérivée de \(f(x) = x^2\sqrt{2x + 3}\) est \(f'(x) = \frac{5x^2 + 6x}{\sqrt{2x + 3}}\).
• Produit de fonctions : \((uv)' = u'v + uv'\)
• Fonction composée : \((\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}\)
• Simplification : Réduire au même dénominateur pour obtenir une expression claire
- Somme : Dérive terme à terme
- Produit : Utiliser la formule \((uv)' = u'v + uv'\)
- Quotient : Appliquer la formule du quotient
- Composition : Règle de la chaîne : \(f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
- Puissance : \([u(x)]^n\) a pour dérivée \(n[u(x)]^{n-1} \cdot u'(x)\)
- \((u + v)' = u' + v'\) (linéarité)
- \((uv)' = u'v + uv'\) (formule du produit)
- \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) (formule du quotient)
- \([u^n]' = nu^{n-1} \cdot u'\) (dérivée d'une puissance)
- \((\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}\) (dérivée d'une racine)
