Règles de dérivation en mathématiques
Introduction
Maîtrisez les règles fondamentales de la dérivation en 1ère
Définition de la dérivation
La dérivation
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable en un point a de I si la limite suivante existe :
Cette limite, lorsqu'elle existe, est appelée le nombre dérivé de f en a.
Le nombre dérivé f'(a) représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.
Dérivée d'une fonction constante
Règle fondamentale
Si f(x) = k (où k est une constante), alors :
La dérivée d'une fonction constante est toujours nulle.
2 Si f(x) = -3, alors f'(x) = 0
3 Si f(x) = π, alors f'(x) = 0
Dérivée de la fonction identité
Fonction identité
Si f(x) = x, alors :
La dérivée de la fonction identité est égale à 1.
Si f(x) = ax (où a est une constante), alors :
La dérivée d'une fonction linéaire est égale au coefficient directeur.
2 Si f(x) = 2x, alors f'(x) = 2
3 Si f(x) = -5x, alors f'(x) = -5
Dérivée des fonctions usuelles
Tableau des dérivées
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) |
|---|---|
| k (constante) | 0 |
| x | 1 |
| x² | 2x |
| x³ | 3x² |
| √x | 1/(2√x) |
| 1/x | -1/x² |
Si f(x) = x^n (où n est un entier naturel), alors :
Opérations sur les dérivées
Règles opératoires
Si u et v sont deux fonctions dérivables, alors :
La dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées.
Si u est une fonction dérivable et k une constante, alors :
La constante reste en facteur dans la dérivée.
Soit f(x) = 3x² + 2x - 5
f'(x) = (3x²)' + (2x)' - (5)'
f'(x) = 3×2x + 2×1 - 0 = 6x + 2
Produit de deux fonctions
Règle du produit
Si u et v sont deux fonctions dérivables, alors :
"La dérivée du premier fois le second plus le premier fois la dérivée du second"
Soit f(x) = x² × sin(x). Trouver f'(x).
2 On calcule u'(x) = 2x et v'(x) = cos(x)
3 On applique la formule :
Quotient de deux fonctions
Règle du quotient
Si u et v sont deux fonctions dérivables et v ≠ 0, alors :
"La dérivée du numérateur fois le dénominateur moins le numérateur fois la dérivée du dénominateur, le tout divisé par le carré du dénominateur"
Soit f(x) = x / (x² + 1). Trouver f'(x).
2 On calcule u'(x) = 1 et v'(x) = 2x
3 On applique la formule :
Composition de fonctions
Règle de la chaîne
Si u et v sont deux fonctions dérivables, alors :
On dérive la fonction extérieure en la composant avec la fonction intérieure, puis on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure.
Si f(x) = [u(x)]^n (où n est un entier naturel), alors :
Soit f(x) = (2x + 1)³
Ici, u(x) = 2x + 1 et n = 3
Donc u'(x) = 2
Tableau récapitulatif des dérivées
Résumé des règles
| Opération | Fonction | Dérivée |
|---|---|---|
| Constante | k | 0 |
| Linéaire | ax | a |
| Puissance | x^n | nx^(n-1) |
| Somme | u + v | u' + v' |
| Produit | uv | u'v + uv' |
| Quotient | u/v | (u'v - uv')/v² |
| Composée | v(u(x)) | u'(x)v'(u(x)) |
Exercices d'application
Problèmes pratiques
Calculer la dérivée de la fonction f(x) = 3x⁴ - 2x³ + 5x - 7
Calculer la dérivée de la fonction g(x) = x² × e^x
Calculer la dérivée de la fonction h(x) = (x + 1)/(x - 1)
Solutions des exercices
Corrections détaillées
On applique la règle de la somme et la dérivée des puissances :
f'(x) = (3x⁴)' - (2x³)' + (5x)' - (7)'
f'(x) = 3×4x³ - 2×3x² + 5×1 - 0
On applique la règle du produit : (uv)' = u'v + uv'
u(x) = x² → u'(x) = 2x
v(x) = e^x → v'(x) = e^x
On applique la règle du quotient : (u/v)' = (u'v - uv')/v²
u(x) = x + 1 → u'(x) = 1
v(x) = x - 1 → v'(x) = 1
Interprétation géométrique
Tangente et dérivée
Le nombre dérivé f'(a) représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.
L'équation de la tangente au point A(a ; f(a)) est :
Soit f(x) = x². Trouvons l'équation de la tangente au point d'abscisse 2.
1. f'(x) = 2x
2. f'(2) = 4 (coefficient directeur)
3. f(2) = 4 (ordonnée du point)
Variations d'une fonction
Lien avec la dérivée
- Si f'(x) > 0 sur un intervalle I, alors f est strictement croissante sur I
- Si f'(x) < 0 sur un intervalle I, alors f est strictement décroissante sur I
- Si f'(x) = 0 sur un intervalle I, alors f est constante sur I
- Déterminer l'ensemble de définition de f
- Calculer la dérivée f'(x)
- Étudier le signe de f'(x)
- Dresser le tableau de variations
Soit f(x) = x² - 4x + 3
f'(x) = 2x - 4
f'(x) = 0 ⟺ 2x - 4 = 0 ⟺ x = 2
f'(x) > 0 ⟺ 2x - 4 > 0 ⟺ x > 2
f'(x) < 0 ⟺ x < 2
Donc f est décroissante sur ]-∞; 2] et croissante sur [2; +∞[
Extremums d'une fonction
Maximum et minimum
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I.
- On dit que f admet un maximum local en a s'il existe un intervalle J inclus dans I contenant a tel que f(a) ≥ f(x) pour tout x ∈ J
- On dit que f admet un minimum local en a s'il existe un intervalle J inclus dans I contenant a tel que f(a) ≤ f(x) pour tout x ∈ J
Si f est dérivable en a et admet un extremum local en a, alors f'(a) = 0.
Cependant, la réciproque est fausse : si f'(a) = 0, a n'est pas nécessairement un extremum.
Pour f(x) = x² - 4x + 3, on a f'(x) = 2x - 4
f'(x) = 0 ⟺ x = 2
Comme f est décroissante avant 2 et croissante après 2, f admet un minimum en x = 2.
Ce minimum vaut f(2) = 4 - 8 + 3 = -1
Résumé
Points clés
- Le nombre dérivé f'(a) est la limite de [f(a+h) - f(a)]/h quand h tend vers 0
- La fonction dérivée f' associe à chaque x le nombre dérivé f'(x)
- Dérivée d'une somme : (u+v)' = u'+v'
- Dérivée d'un produit : (uv)' = u'v + uv'
- Dérivée d'un quotient : (u/v)' = (u'v - uv')/v²
- Tangente à une courbe : y = f'(a)(x-a) + f(a)
- Variations d'une fonction via le signe de la dérivée
- Recherche d'extremums locaux
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences