Dérivées des fonctions usuelles
Introduction
Découvrez les formules de dérivation des fonctions de base
Tableau des dérivées usuelles
Formules de base
La dérivée d'une fonction constante est nulle.
Cette formule est valable pour tout entier naturel n ≥ 1.
Dérivées des fonctions puissances
Formule générale
- \( f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x \)
- \( f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2 \)
- \( f(x) = x^4 \Rightarrow f'(x) = 4x^3 \)
- \( f(x) = x^5 \Rightarrow f'(x) = 5x^4 \)
La fonction racine carrée peut être vue comme une puissance : \( \sqrt{x} = x^{1/2} \)
La fonction inverse peut être vue comme une puissance : \( \frac{1}{x} = x^{-1} \)
Dérivées des fonctions trigonométriques
Fonctions sinus et cosinus
La dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus.
La dérivée de la fonction cosinus est l'opposé de la fonction sinus.
Règles de dérivation
Opérations sur les dérivées
La dérivée d'une somme est la somme des dérivées.
La constante peut être mise en facteur devant la dérivée.
Composition de fonctions
Dérivée d'une fonction composée
Si f(x) = u(v(x)), alors :
Cette formule est appelée "règle de la chaîne".
Soit f(x) = (2x + 3)⁴
Ici, u(t) = t⁴ et v(x) = 2x + 3
u'(t) = 4t³ et v'(x) = 2
Donc f'(x) = 4(2x + 3)³ × 2 = 8(2x + 3)³
Soit f(x) = √(x² + 1)
Ici, u(t) = √t et v(x) = x² + 1
u'(t) = 1/(2√t) et v'(x) = 2x
Donc f'(x) = 1/(2√(x² + 1)) × 2x = x/√(x² + 1)
Tableau complet des dérivées usuelles
Références complètes
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) | Domaine |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | ℝ |
| x | 1 | ℝ |
| xⁿ (n∈ℕ*) | nxⁿ⁻¹ | ℝ |
| 1/x | -1/x² | ℝ* |
| √x | 1/(2√x) | ]0, +∞[ |
| sin(x) | cos(x) | ℝ |
| cos(x) | -sin(x) | ℝ |
Applications concrètes
Utilité des dérivées
Le signe de la dérivée permet de déterminer les variations d'une fonction :
- Si f'(x) > 0, alors f est croissante
- Si f'(x) < 0, alors f est décroissante
- Si f'(x) = 0, alors f a un extremum local
Les dérivées sont utilisées pour trouver des maximums et minimums dans des problèmes concrets :
- Maximiser un volume avec contrainte de surface
- Minimiser un coût de production
- Optimiser une trajectoire
Si x(t) est la position d'un objet, alors :
- x'(t) est la vitesse
- x''(t) est l'accélération
Exercice d'application
Problème complet
Soit la fonction f définie par : \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)
1. Calculer la dérivée f'(x).
2. Déterminer les valeurs de x pour lesquelles f'(x) = 0.
3. Étudier le signe de f'(x) et en déduire les variations de f.
4. Calculer f'(1) et interpréter graphiquement ce résultat.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
Utilisons les règles de dérivation :
f(x) = 2x³ - 3x² + x - 5
f'(x) = 2×3x² - 3×2x + 1 - 0 = 6x² - 6x + 1
6x² - 6x + 1 = 0
Δ = (-6)² - 4×6×1 = 36 - 24 = 12
Δ > 0, donc deux solutions :
x₁ = (6 - √12)/12 = (6 - 2√3)/12 = (3 - √3)/6
x₂ = (6 + √12)/12 = (6 + 2√3)/12 = (3 + √3)/6
Comme a = 6 > 0, le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines.
Donc f est croissante sur ]-∞, (3-√3)/6] et [(3+√3)/6, +∞[, et décroissante sur [(3-√3)/6, (3+√3)/6].
f'(1) = 6×1² - 6×1 + 1 = 6 - 6 + 1 = 1. Cela signifie que la pente de la tangente à la courbe en x = 1 est 1.
Astuces et erreurs fréquentes
Pièges à éviter
- Dérivée de x² : Erreur (x²)' = 2x Correct
- Dérivée de 1/x : Erreur (1/x)' = 1 Correct (1/x)' = -1/x²
- Dérivée de √x : Erreur (√x)' = 1 Correct (√x)' = 1/(2√x)
- Identifiez d'abord la structure de la fonction (somme, produit, quotient, composition)
- Appliquez la bonne formule de dérivation
- Simplifiez le résultat autant que possible
- Vérifiez votre réponse en testant des valeurs particulières
Exercices supplémentaires
Entraînement
Calculer la dérivée de la fonction f(x) = 3x⁴ - 2x³ + 5x - 7.
Calculer la dérivée de la fonction f(x) = (2x + 1)/(x - 3).
Calculer la dérivée de la fonction f(x) = sin(x²).
Résumé
Points clés
- (k)' = 0
- (x)' = 1
- (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
- (1/x)' = -1/x²
- (√x)' = 1/(2√x)
- (sin x)' = cos x
- (cos x)' = -sin x
- (u + v)' = u' + v'
- (ku)' = ku'
- (uv)' = u'v + uv'
- (u/v)' = (u'v - uv')/v²
- [u(v(x))]' = u'(v(x)) × v'(x)
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences