Applications de la dérivation : variations et extremums

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

• Si f'(x) > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I
• Si f'(x) < 0 sur I, alors f est strictement décroissante sur I
• Si f'(x) = 0 sur I, alors f est constante sur I

Le signe de la dérivée f'(x) correspond au signe du coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x.

• f'(x) > 0 : tangente ascendante → fonction croissante
• f'(x) < 0 : tangente descendante → fonction décroissante
• f'(x) = 0 : tangente horizontale → possible extremum

1. 1 Déterminer l'ensemble de définition de f
2. 2 Calculer la dérivée f'(x)
3. 3 Factoriser ou simplifier f'(x) si possible
4. 4 Étudier le signe de f'(x) (résoudre f'(x) = 0, f'(x) > 0, f'(x) < 0)
5. 5 Dresser le tableau de variations
6. 6 Indiquer les extremums éventuels

Soit f(x) = x² - 4x + 3 sur ℝ

1. f est définie sur ℝ

2. f'(x) = 2x - 4

3. f'(x) = 2(x - 2)

4. f'(x) = 0 ⟺ x = 2

f'(x) > 0 ⟺ x > 2

f'(x) < 0 ⟺ x < 2

5. f est décroissante sur ]-∞; 2] et croissante sur [2; +∞[

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I.

• On dit que f admet un maximum local en a s'il existe un intervalle J inclus dans I contenant a tel que f(a) ≥ f(x) pour tout x ∈ J
• On dit que f admet un minimum local en a s'il existe un intervalle J inclus dans I contenant a tel que f(a) ≤ f(x) pour tout x ∈ J

• Un maximum global sur I est un maximum local qui est supérieur à tous les autres valeurs de f sur I
• Un minimum global sur I est un minimum local qui est inférieur à toutes les autres valeurs de f sur I

Pour f(x) = x² - 4x + 3, on a vu que f est décroissante sur ]-∞; 2] et croissante sur [2; +∞[

Donc f admet un minimum local (et global) en x = 2

Ce minimum vaut f(2) = 4 - 8 + 3 = -1

Si f est dérivable en a et admet un extremum local en a, alors f'(a) = 0.

Ce théorème fournit une condition nécessaire mais pas suffisante pour l'existence d'un extremum.

Si f'(a) = 0, a n'est pas nécessairement un extremum.

Contre-exemple : f(x) = x³

f'(x) = 3x², donc f'(0) = 0

Mais f est strictement croissante sur ℝ, donc 0 n'est pas un extremum.

Soit f une fonction dérivable en a avec f'(a) = 0.

• Si f' change de signe en a (de + à -), alors f admet un maximum local en a
• Si f' change de signe en a (de - à +), alors f admet un minimum local en a

1. g'(x) = [2x(x-1) - (x²+1)×1]/(x-1)² = (2x² - 2x - x² - 1)/(x-1)² = (x² - 2x - 1)/(x-1)²

2. g'(x) = 0 ⟺ x² - 2x - 1 = 0

Δ = 4 + 4 = 8, donc x = (2 ± √8)/2 = 1 ± √2

Sur ]1; +∞[, seule x = 1 + √2 est valide

3. g'(x) change de signe en x = 1 + √2 → minimum local

On dispose d'une corde de longueur L. Quelles dimensions faut-il donner à un rectangle pour que son aire soit maximale ?

Soit x la largeur du rectangle, alors la longueur est (L - 2x)/2 = L/2 - x

Aire A(x) = x(L/2 - x) = (L/2)x - x²

A'(x) = L/2 - 2x

A'(x) = 0 ⟺ x = L/4

Comme A''(x) = -2 < 0, x = L/4 est un maximum.

Le rectangle est un carré de côté L/4.

Une entreprise vend des objets au prix unitaire p(x) = 100 - 0.5x (en euros), où x est la quantité vendue.

Le coût total de production est C(x) = 20x + 500.

Profit P(x) = x(100 - 0.5x) - (20x + 500) = 100x - 0.5x² - 20x - 500 = 80x - 0.5x² - 500

P'(x) = 80 - x

P'(x) = 0 ⟺ x = 80

Le profit est maximal pour x = 80 objets vendus.

1. f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)

2. f'(x) = 0 ⟺ x = 1 ou x = 3

→ Sur ]-∞; 1[, f'(x) > 0 (croissante)

→ Sur ]1; 3[, f'(x) < 0 (décroissante)

→ Sur ]3; +∞[, f'(x) > 0 (croissante)

3. f admet un maximum local en x = 1 : f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6

f admet un minimum local en x = 3 : f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2

Après découpage, la boîte a pour dimensions :

Longueur = largeur = 20 - 2x, hauteur = x

Volume V(x) = x(20 - 2x)² = x(400 - 80x + 4x²) = 4x³ - 80x² + 400x

V'(x) = 12x² - 160x + 400 = 4(3x² - 40x + 100)

V'(x) = 0 ⟺ 3x² - 40x + 100 = 0

Δ = 1600 - 1200 = 400, donc x = (40 ± 20)/6

x₁ = 10, x₂ = 10/3

Comme x < 10 (sinon la boîte n'existe pas), x = 10/3

Le volume est maximal pour x = 10/3 cm.

g'(x) = [2x(x-1) - (x²-4)×1]/(x-1)² = [2x² - 2x - x² + 4]/(x-1)² = (x² - 2x + 4)/(x-1)²

Le numérateur x² - 2x + 4 a pour discriminant Δ = 4 - 16 = -12 < 0

Donc x² - 2x + 4 > 0 pour tout x

Et (x-1)² > 0 pour x > 1

Donc g'(x) > 0 sur ]1; +∞[

La fonction g est strictement croissante sur son ensemble de définition, donc elle n'admet pas d'extremum.

1. 1 Déterminer l'ensemble de définition
2. 2 Calculer la dérivée f'(x)
3. 3 Factoriser f'(x) pour étudier son signe
4. 4 Résoudre f'(x) = 0 pour trouver les points critiques
5. 5 Étudier le signe de f'(x) sur chaque intervalle
6. 6 Déduire les variations de f

• Chercher les points où f'(x) = 0
• Vérifier que f' change de signe en ces points
• Si f' change de + à -, alors f admet un maximum local
• Si f' change de - à +, alors f admet un minimum local
• Ne pas oublier d'étudier les bornes de l'intervalle

• Confondre condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'un extremum
• Oublier d'étudier les bornes d'un intervalle fermé
• Ne pas vérifier que les points critiques appartiennent au domaine de définition
• Confondre extremum local et extremum global

• Si f'(x) > 0 sur un intervalle, alors f est strictement croissante sur cet intervalle
• Si f'(x) < 0 sur un intervalle, alors f est strictement décroissante sur cet intervalle

• Maximum local : f(a) ≥ f(x) pour x proche de a
• Minimum local : f(a) ≤ f(x) pour x proche de a
• Condition nécessaire : si f est dérivable en a et admet un extremum en a, alors f'(a) = 0

• Étude des variations d'une fonction
• Recherche d'extremums
• Résolution de problèmes d'optimisation