Optimisation de fonctions en mathématiques

L'optimisation de fonctions consiste à déterminer les valeurs de la variable pour lesquelles une fonction atteint ses valeurs extrêmes (maximum ou minimum).

Il s'agit de trouver la valeur de x qui :

• Maximise une fonction (donne le maximum)
• Minimise une fonction (donne le minimum)

• Maximiser un profit ou un rendement
• Minimiser un coût ou une surface
• Optimiser une configuration géométrique
• Résoudre des problèmes économiques

1. 1 Identifier la grandeur à optimiser (fonction objectif)
2. 2 Exprimer cette grandeur en fonction d'une variable
3. 3 Déterminer l'ensemble de définition de la fonction
4. 4 Calculer la dérivée de la fonction
5. 5 Chercher les points critiques (f'(x) = 0)
6. 6 Étudier le signe de la dérivée pour déterminer les variations
7. 7 Conclure sur le maximum ou le minimum

Problème : Parmi les rectangles de périmètre fixe P = 20, quel est celui qui a l'aire maximale ?

1. Grandeur à optimiser : l'aire A

2. Soit x la largeur, alors la longueur est (20-2x)/2 = 10-x

Donc A(x) = x(10-x) = 10x - x²

3. Ensemble de définition : x ∈ ]0; 10[ (pour que les côtés soient positifs)

4. A'(x) = 10 - 2x

5. A'(x) = 0 ⟺ x = 5

6. A'(x) > 0 ⟺ x < 5, donc A est croissante sur ]0; 5]

A'(x) < 0 ⟺ x > 5, donc A est décroissante sur [5; 10[

7. A admet un maximum en x = 5, donc le rectangle est un carré de côté 5.

Soit r le rayon et h la hauteur.

S = 2πr² + 2πrh (surface latérale + 2 bases)

V = πr²h

On exprime h en fonction de r et S : h = (S - 2πr²)/(2πr)

Donc V(r) = πr² × (S - 2πr²)/(2πr) = r(S - 2πr²)/2 = (Sr - 2πr³)/2

V'(r) = (S - 6πr²)/2

V'(r) = 0 ⟺ S = 6πr²

Cela correspond à h = r, donc le cylindre optimal a une hauteur égale à son diamètre.

Une entreprise vend des articles au prix unitaire p(x) = 100 - 0.5x (en euros), où x est la quantité vendue.

Le coût total de production est C(x) = 20x + 500.

Revenu R(x) = x × p(x) = x(100 - 0.5x) = 100x - 0.5x²

Profit P(x) = R(x) - C(x) = 100x - 0.5x² - 20x - 500 = 80x - 0.5x² - 500

P'(x) = 80 - x

P'(x) = 0 ⟺ x = 80

P admet un maximum en x = 80, donc l'entreprise maximise son profit en vendant 80 articles.

Le prix de vente sera p(80) = 100 - 0.5×80 = 60€.

Une entreprise a un coût total C(x) = 0.01x² + 5x + 1000 pour produire x unités.

Coût moyen CM(x) = C(x)/x = 0.01x + 5 + 1000/x

Pour minimiser le coût moyen : CM'(x) = 0.01 - 1000/x²

CM'(x) = 0 ⟺ 0.01 = 1000/x² ⟺ x² = 100000 ⟺ x = 100√10 ≈ 316

Le coût moyen est minimal pour environ 316 unités produites.

Quel est le point de la parabole y = x² le plus proche du point A(0, 1) ?

Soit M(t, t²) un point de la parabole.

Distance AM = √[(t-0)² + (t²-1)²] = √[t² + (t²-1)²] = √[t² + t⁴ - 2t² + 1] = √[t⁴ - t² + 1]

Pour minimiser la distance, on peut minimiser le carré de la distance : f(t) = t⁴ - t² + 1

f'(t) = 4t³ - 2t = 2t(2t² - 1)

f'(t) = 0 ⟺ t = 0 ou t² = 1/2, donc t = 0 ou t = ±√(1/2)

En comparant les distances, le point le plus proche est (0, 0) ou (±√(1/2), 1/2).

Un randonneur doit aller d'un point A à un point B en passant par un point P sur une route rectiligne.

Comment choisir P pour minimiser la distance totale AP + PB ?

Ce type de problème utilise le principe de symétrie et le théorème de Fermat.

Le point optimal est obtenu en prenant le symétrique de l'un des points par rapport à la droite.

Après découpage, la boîte a pour dimensions :

Longueur = largeur = 24 - 2x, hauteur = x

Volume V(x) = x(24 - 2x)² = x(576 - 96x + 4x²) = 4x³ - 96x² + 576x

V'(x) = 12x² - 192x + 576 = 12(x² - 16x + 48)

V'(x) = 0 ⟺ x² - 16x + 48 = 0

Δ = 256 - 192 = 64, donc x = (16 ± 8)/2

x₁ = 12, x₂ = 4

Pour que la boîte existe, il faut x < 12, donc x = 4

Le volume est maximal pour x = 4 cm.

Soit x la longueur perpendiculaire au mur et y la longueur parallèle.

Clôture nécessaire : 2x + y = 100, donc y = 100 - 2x

Aire A(x) = x × y = x(100 - 2x) = 100x - 2x²

A'(x) = 100 - 4x

A'(x) = 0 ⟺ x = 25

y = 100 - 2×25 = 50

L'aire est maximale pour x = 25m et y = 50m.

B(x) = -0.02x² + 4x - 50

B'(x) = -0.04x + 4

B'(x) = 0 ⟺ -0.04x + 4 = 0 ⟺ x = 100

Comme le coefficient de x² est négatif, B admet un maximum en x = 100

B(100) = -0.02(10000) + 4(100) - 50 = -200 + 400 - 50 = 150

Le bénéfice est maximal pour 100 000 unités produites, avec un bénéfice de 150 000€.

Si f'(a) = 0 et f''(a) > 0, alors f admet un minimum local en a.

Si f'(a) = 0 et f''(a) < 0, alors f admet un maximum local en a.

Exemple : f(x) = x³ - 3x²

f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x-2)

f'(x) = 0 ⟺ x = 0 ou x = 2

f''(x) = 6x - 6

f''(0) = -6 < 0 → maximum local en x = 0

f''(2) = 6 > 0 → minimum local en x = 2

Pour une fonction continue sur un intervalle fermé [a,b], le maximum et le minimum peuvent être atteints :

• Aux points critiques (où f'(x) = 0)
• Aux bornes de l'intervalle (x = a ou x = b)

Exemple : f(x) = x² sur [-1, 2]

f'(x) = 2x, f'(x) = 0 ⟺ x = 0

f(-1) = 1, f(0) = 0, f(2) = 4

Minimum : f(0) = 0, Maximum : f(2) = 4

Parfois, les extremums se trouvent en des points où la fonction n'est pas dérivable.

Exemple : f(x) = |x|

f n'est pas dérivable en x = 0, mais f admet un minimum global en x = 0.

1. 1 Identifier la grandeur à optimiser
2. 2 Exprimer cette grandeur en fonction d'une variable
3. 3 Déterminer l'ensemble de définition
4. 4 Calculer la dérivée
5. 5 Résoudre f'(x) = 0 pour trouver les points critiques
6. 6 Étudier le signe de f'(x) ou utiliser f''(x)
7. 7 Comparer avec les valeurs aux bornes si nécessaire
8. 8 Conclure sur le maximum ou minimum recherché

• Faire un schéma pour bien visualiser le problème
• Identifier correctement les contraintes
• Choisir la bonne variable pour simplifier les calculs
• Vérifier que la solution respecte les contraintes physiques
• Interpréter le résultat dans le contexte du problème

• Oublier d'étudier les bornes de l'intervalle
• Ne pas vérifier que les solutions sont dans l'ensemble de définition
• Confondre maximum global et local
• Ne pas interpréter correctement le résultat

• Consiste à trouver les valeurs extrêmes d'une fonction
• Utilise la dérivation pour identifier les points critiques
• Applique les critères de signe de la dérivée

• Géométrie : maximiser des aires, volumes
• Économie : maximiser profits, minimiser coûts
• Physique : optimiser des trajectoires

• Modéliser le problème mathématiquement
• Identifier la fonction objectif
• Appliquer la dérivation pour trouver les extrêmes