Tableaux de variations des fonctions

Un tableau de variations est un outil graphique qui permet de résumer de manière synthétique le comportement d'une fonction sur son ensemble de définition.

Il indique :

• Les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante
• Les extremums (maximums et minimums) locaux ou globaux
• Les limites aux bornes de l'ensemble de définition
• Les valeurs prises par la fonction aux points particuliers

x	-∞	a	b	+∞
Signe de f'(x)		+	-	+
Variations de f	lim f(x)	↗	↘	↗
f(x)	limite	f(a)	f(b)	limite

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

• Si f'(x) > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I
• Si f'(x) < 0 sur I, alors f est strictement décroissante sur I
• Si f'(x) = 0 sur I, alors f est constante sur I

Le signe de la dérivée f'(x) correspond au signe du coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x.

• f'(x) > 0 : tangente ascendante → fonction croissante
• f'(x) < 0 : tangente descendante → fonction décroissante
• f'(x) = 0 : tangente horizontale → possible extremum

Soit f(x) = x² - 4x + 3

f'(x) = 2x - 4

f'(x) = 0 ⟺ x = 2

f'(x) > 0 ⟺ x > 2 (fonction croissante)

f'(x) < 0 ⟺ x < 2 (fonction décroissante)

Donc f est décroissante sur ]-∞; 2] et croissante sur [2; +∞[

1. 1 Déterminer l'ensemble de définition de f
2. 2 Calculer la dérivée f'(x)
3. 3 Factoriser ou simplifier f'(x) si possible
4. 4 Étudier le signe de f'(x) (résoudre f'(x) = 0, f'(x) > 0, f'(x) < 0)
5. 5 Calculer les valeurs de f aux points critiques et aux bornes
6. 6 Dresser le tableau de variations
7. 7 Interpréter les résultats

Soit f(x) = x³ - 3x² + 2 sur ℝ

1. f est définie sur ℝ

2. f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

3. f'(x) = 0 ⟺ x = 0 ou x = 2

4. Signe de f'(x) = 3x(x - 2) :

→ Sur ]-∞; 0[, f'(x) > 0 (croissante)

→ Sur ]0; 2[, f'(x) < 0 (décroissante)

→ Sur ]2; +∞[, f'(x) > 0 (croissante)

5. f(0) = 2, f(2) = 8 - 12 + 2 = -2

6. lim(x→-∞) f(x) = -∞, lim(x→+∞) f(x) = +∞

x	-∞	1	3	+∞
Signe de f'(x)		+	-	+
Variations de f	-∞	↗	↘	↗
f(x)	-∞	5	1	+∞

• f est croissante sur ]-∞; 1]
• f est décroissante sur [1; 3]
• f est croissante sur [3; +∞[
• f admet un maximum local en x = 1 : f(1) = 5
• f admet un minimum local en x = 3 : f(3) = 1

1. Ensemble de définition : D = ℝ \ {1}

2. Calcul de la dérivée : f'(x) = [2x(x-1) - (x²+1)×1]/(x-1)² = (2x² - 2x - x² - 1)/(x-1)² = (x² - 2x - 1)/(x-1)²

3. Étude du signe de f'(x) :

→ Le dénominateur (x-1)² > 0 pour x ≠ 1

→ Étudions le numérateur : x² - 2x - 1 = 0

→ Δ = 4 + 4 = 8, donc x = (2 ± √8)/2 = 1 ± √2

→ x₁ = 1 - √2 ≈ -0.41, x₂ = 1 + √2 ≈ 2.41

x	-∞	1-√2	1⁻	1⁺	1+√2	+∞
Signe de f'(x)		+	?	?	-	+
Variations de f	-∞	↗	||	||	↘	↗
f(x)	-∞	≈-0.83	-∞	+∞	≈4.83	+∞

• Asymptote verticale : x = 1 (car lim(x→1) f(x) = ±∞)
• Asymptote oblique : y = x + 1 (car f(x) = x + 1 + 2/(x-1))

1. f'(x) = 3x² - 6x - 9 = 3(x² - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)

2. f'(x) = 0 ⟺ x = -1 ou x = 3

→ Sur ]-∞; -1[, f'(x) > 0 (croissante)

→ Sur ]-1; 3[, f'(x) < 0 (décroissante)

→ Sur ]3; +∞[, f'(x) > 0 (croissante)

3. f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10 (maximum local)

f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22 (minimum local)

4. Tableau de variations :

x	-∞	-1	3	+∞
Signe de f'(x)		+	-	+
Variations de f	-∞	↗	↘	↗
f(x)	-∞	10	-22	+∞

1. g'(x) = [2(x+2) - (2x-1)×1]/(x+2)² = [2x + 4 - 2x + 1]/(x+2)² = 5/(x+2)²

2. g'(x) > 0 pour tout x ≠ -2 (car 5 > 0 et (x+2)² > 0)

3. g est strictement croissante sur ]-∞; -2[ et sur ]-2; +∞[

4. Asymptotes : x = -2 (verticale), y = 2 (horizontale)

x	-∞	-2⁻	-2⁺	+∞
Signe de g'(x)		+	+	+
Variations de g	2	↗	↗	2
g(x)	2	-∞	+∞	2

1. h'(x) = cos(x) - sin(x)

2. h'(x) = 0 ⟺ cos(x) = sin(x) ⟺ tan(x) = 1 ⟺ x = π/4 ou x = 5π/4

h'(x) > 0 ⟺ cos(x) > sin(x)

Sur [0; π/4], cos(x) > sin(x) donc h'(x) > 0

Sur [π/4; 5π/4], cos(x) < sin(x) donc h'(x) < 0

Sur [5π/4; 2π], cos(x) > sin(x) donc h'(x) > 0

3. h(π/4) = √2 (maximum), h(5π/4) = -√2 (minimum)

• Les intervalles de croissance et de décroissance
• Les extremums locaux et globaux
• Les limites aux bornes de l'ensemble de définition
• Les points d'inflexion potentiels
• Le comportement asymptotique

• Flèche ↗ correspond à une portion de courbe montante
• Flèche ↘ correspond à une portion de courbe descendante
• Point d'arrêt de flèche correspond à un extremum
• Valeur dans la dernière ligne correspond à l'ordonnée du point
• Symbole || indique une discontinuité (asymptote verticale)

• Résolution d'équations et d'inéquations
• Optimisation de fonctions
• Étude de suites définies implicitement
• Positionnement de courbes
• Analyse de phénomènes physiques ou économiques

1. 1 Déterminer l'ensemble de définition de la fonction
2. 2 Calculer la dérivée f'(x)
3. 3 Factoriser f'(x) pour étudier son signe
4. 4 Résoudre f'(x) = 0 pour trouver les points critiques
5. 5 Étudier le signe de f'(x) sur chaque intervalle
6. 6 Calculer les valeurs de f aux points critiques et aux bornes
7. 7 Étudier les limites aux bornes de l'ensemble de définition
8. 8 Tracer le tableau de variations complet

• Toujours vérifier que la fonction est dérivable sur l'intervalle considéré
• Factoriser la dérivée pour faciliter l'étude du signe
• Utiliser des tableaux de signe pour les expressions complexes
• Ne pas oublier d'étudier les bornes de l'intervalle
• Calculer précisément les valeurs aux points critiques
• Indiquer clairement les limites aux bornes

• Confondre signe de la dérivée et sens de variation
• Oublier d'étudier les bornes de l'ensemble de définition
• Négliger les points où la fonction n'est pas définie
• Se tromper dans le calcul de la dérivée
• Mal interpréter le tableau de variations

• Le tableau de variations résume le comportement d'une fonction
• Il repose sur l'étude du signe de la dérivée
• Le signe de f'(x) détermine le sens de variation de f

• Identification des extremums
• Résolution d'équations/inéquations
• Optimisation de fonctions

• Déterminer l'ensemble de définition
• Calculer la dérivée
• Étudier le signe de la dérivée
• Dresser le tableau complet