Asymptotes et comportement à l'infini des fonctions

Une asymptote est une droite qui "approche" une courbe de manière indéfinie sans jamais la toucher.

Il existe trois types d'asymptotes :

• Asymptote verticale
• Asymptote horizontale
• Asymptote oblique

La droite d'équation x = a est une asymptote verticale de la courbe représentative de f si :

Exemple : f(x) = 1/(x-2) admet x = 2 comme asymptote verticale.

La droite d'équation y = L est une asymptote horizontale de la courbe représentative de f si :

Exemple : f(x) = (2x+1)/(x-3) admet y = 2 comme asymptote horizontale.

Une fonction f admet une asymptote verticale x = a dans les cas suivants :

• f n'est pas définie en a (discontinuité)
• f est définie en a mais lim(x→a) f(x) = ±∞

1. Identifier les valeurs de x où f n'est pas définie
2. Calculer les limites de f(x) quand x tend vers ces valeurs
3. Si la limite est infinie, alors il y a une asymptote verticale

Exemple 1 : f(x) = 1/(x-3)

• f n'est pas définie en x = 3

• lim(x→3⁻) f(x) = -∞

• lim(x→3⁺) f(x) = +∞

• Donc x = 3 est une asymptote verticale

Exemple 2 : f(x) = (x²+1)/(x²-4)

• f n'est pas définie en x = 2 et x = -2

• lim(x→2⁻) f(x) = +∞, lim(x→2⁺) f(x) = -∞

• lim(x→-2⁻) f(x) = -∞, lim(x→-2⁺) f(x) = +∞

• Donc x = 2 et x = -2 sont des asymptotes verticales

Une fonction f admet une asymptote horizontale y = L si :

• lim(x→+∞) f(x) = L (asymptote à droite)
• lim(x→-∞) f(x) = L (asymptote à gauche)

On peut avoir une asymptote horizontale d'un seul côté ou des deux côtés.

1. Calculer lim(x→+∞) f(x)
2. Calculer lim(x→-∞) f(x)
3. Si une limite est finie (égale à L), alors y = L est une asymptote horizontale

Exemple 1 : f(x) = (2x+1)/(x-3)

• lim(x→+∞) f(x) = lim(x→+∞) (2x/x) = 2

• lim(x→-∞) f(x) = lim(x→-∞) (2x/x) = 2

• Donc y = 2 est une asymptote horizontale des deux côtés

Exemple 2 : f(x) = (x²+1)/(x³+2)

• lim(x→+∞) f(x) = lim(x→+∞) (x²/x³) = lim(x→+∞) (1/x) = 0

• lim(x→-∞) f(x) = 0

• Donc y = 0 est une asymptote horizontale des deux côtés

Une fonction f admet une asymptote oblique y = ax + b si :

Autrement dit, la différence entre f(x) et la droite tend vers 0 à l'infini.

1. Calculer a = lim(x→±∞) f(x)/x (si la limite existe)
2. Calculer b = lim(x→±∞) [f(x) - ax] (si la limite existe)
3. Si les deux limites existent, alors y = ax + b est une asymptote oblique

Exemple : f(x) = (x² + 2x - 1)/(x - 1)

On effectue la division euclidienne :

x² + 2x - 1 = (x - 1)(x + 3) + 2

Donc f(x) = x + 3 + 2/(x - 1)

• lim(x→+∞) f(x)/x = lim(x→+∞) (x + 3 + 2/(x-1))/x = 1

• lim(x→+∞) [f(x) - x] = lim(x→+∞) (3 + 2/(x-1)) = 3

• Donc y = x + 3 est une asymptote oblique à droite

• De même, y = x + 3 est une asymptote oblique à gauche

Lorsque x tend vers +∞ ou -∞, une fonction peut avoir différents comportements :

• Limite finie (asymptote horizontale)
• Limite infinie (pas d'asymptote horizontale)
• Asymptote oblique
• Comportement oscillant

Pour f(x) = P(x)/Q(x) où P et Q sont des polynômes :

• Si deg(P) < deg(Q) : lim(x→±∞) f(x) = 0 → asymptote horizontale y = 0
• Si deg(P) = deg(Q) : lim(x→±∞) f(x) = coeff_dir_P/coeff_dir_Q → asymptote horizontale
• Si deg(P) = deg(Q) + 1 : asymptote oblique
• Si deg(P) > deg(Q) + 1 : pas d'asymptote horizontale ni oblique

Exemple 1 : f(x) = (3x² + 2x - 1)/(x² + 1)

deg(numérateur) = deg(dénominateur) = 2

lim(x→±∞) f(x) = 3/1 = 3 → asymptote horizontale y = 3

Exemple 2 : f(x) = (2x³ + x)/(x² + 1)

deg(numérateur) = 3, deg(dénominateur) = 2

deg(numérateur) > deg(dénominateur) + 1, donc pas d'asymptote horizontale

On effectue la division : f(x) = 2x + (x - 2x)/(x² + 1)

Donc y = 2x est une asymptote oblique

1. Ensemble de définition : D = ℝ \ {2}

2. Asymptote verticale : x = 2 car lim(x→2) f(x) = ±∞

3. Effectuons la division : 2x² - 3x + 1 = (x - 2)(2x + 1) + 3

Donc f(x) = 2x + 1 + 3/(x - 2)

• lim(x→+∞) f(x)/(2x) = lim(x→+∞) (2x + 1 + 3/(x-2))/(2x) = 1

• lim(x→+∞) [f(x) - 2x] = lim(x→+∞) (1 + 3/(x-2)) = 1

• Donc y = 2x + 1 est une asymptote oblique

4. Comportement à l'infini : la fonction se comporte comme la droite y = 2x + 1

1. Ensemble de définition : D = ℝ \ {-1, 1}

2. Asymptotes verticales : x = -1 et x = 1

3. deg(numérateur) = 3, deg(dénominateur) = 2, donc asymptote oblique

Effectuons la division : x³ + 2 = (x² - 1)x + x + 2

Donc g(x) = x + (x + 2)/(x² - 1)

• lim(x→±∞) [g(x) - x] = lim(x→±∞) (x + 2)/(x² - 1) = 0

• Donc y = x est une asymptote oblique

4. Limites aux bornes : lim(x→±∞) g(x) = ±∞

1. Ensemble de définition : D = [0, +∞[ \ {1}

2. Asymptote verticale : x = 1 car lim(x→1) h(x) = ±∞

3. Pour x → +∞ :

h(x) = (x + √x)/(x - 1) = x(1 + 1/√x)/[x(1 - 1/x)] = (1 + 1/√x)/(1 - 1/x)

lim(x→+∞) h(x) = 1/(1 - 0) = 1

Donc y = 1 est une asymptote horizontale

4. Comportement à l'infini : la fonction tend vers 1

Pour étudier la position d'une courbe par rapport à une asymptote y = ax + b :

1. Calculer la différence d(x) = f(x) - (ax + b)
2. Étudier le signe de d(x)
3. Conclure :
• Si d(x) > 0, la courbe est au-dessus de l'asymptote
• Si d(x) < 0, la courbe est en dessous de l'asymptote

Soit f(x) = (x² + 2x + 3)/(x + 1)

Division : x² + 2x + 3 = (x + 1)(x + 1) + 2

Donc f(x) = x + 1 + 2/(x + 1)

L'asymptote oblique est y = x + 1

d(x) = f(x) - (x + 1) = 2/(x + 1)

• Pour x > -1, d(x) > 0 → la courbe est au-dessus de l'asymptote

• Pour x < -1, d(x) < 0 → la courbe est en dessous de l'asymptote

La position relative permet de comprendre comment la courbe s'approche de l'asymptote :

• La courbe peut osciller autour de l'asymptote
• Elle peut rester toujours d'un même côté
• Cela influence la précision de l'approximation

1. 1 Déterminer l'ensemble de définition de la fonction
2. 2 Identifier les points où la fonction n'est pas définie (potentielles asymptotes verticales)
3. 3 Calculer les limites en ces points pour confirmer les asymptotes verticales
4. 4 Calculer les limites en +∞ et -∞ pour les asymptotes horizontales
5. 5 Si pas d'asymptote horizontale, chercher une asymptote oblique
6. 6 Étudier la position relative de la courbe par rapport aux asymptotes

• Toujours vérifier l'ensemble de définition avant de chercher des asymptotes
• Utiliser la division euclidienne pour les fractions rationnelles
• Comparer les degrés des polynômes pour prédire le type d'asymptote
• Faire attention aux limites à gauche et à droite pour les asymptotes verticales
• Calculer les limites avec soin pour éviter les erreurs

• Confondre asymptote horizontale et oblique
• Oublier de vérifier les limites à gauche et à droite
• Ne pas identifier correctement les points de discontinuité
• Se tromper dans les calculs de limites
• Mal interpréter la position relative à l'asymptote

• Asymptote verticale : x = a, quand lim(x→a) f(x) = ±∞
• Asymptote horizontale : y = L, quand lim(x→±∞) f(x) = L
• Asymptote oblique : y = ax + b, quand lim(x→±∞) [f(x) - (ax + b)] = 0

• Décrire le comportement d'une fonction à l'infini
• Identifier les discontinuités
• Approximer le comportement de la fonction

• Déterminer l'ensemble de définition
• Calculer les limites aux bornes
• Identifier les asymptotes
• Étudier la position relative