Intervalles de croissance et décroissance des fonctions

Une fonction f est dite croissante sur un intervalle I si pour tous réels a et b de I :

Autrement dit, l'image d'un nombre plus grand est plus grande.

Une fonction f est dite décroissante sur un intervalle I si pour tous réels a et b de I :

Autrement dit, l'image d'un nombre plus grand est plus petite.

• Strictement croissante : a < b ⇒ f(a) < f(b)
• Strictement décroissante : a < b ⇒ f(a) > f(b)

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

• Si f'(x) > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I
• Si f'(x) < 0 sur I, alors f est strictement décroissante sur I
• Si f'(x) = 0 sur I, alors f est constante sur I

Le signe de la dérivée f'(x) correspond au signe du coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x.

• f'(x) > 0 : tangente ascendante → fonction croissante
• f'(x) < 0 : tangente descendante → fonction décroissante
• f'(x) = 0 : tangente horizontale → possible extremum

Soit f(x) = x² - 4x + 3

f'(x) = 2x - 4

f'(x) = 0 ⟺ x = 2

f'(x) > 0 ⟺ x > 2 (fonction croissante)

f'(x) < 0 ⟺ x < 2 (fonction décroissante)

Donc f est décroissante sur ]-∞; 2] et croissante sur [2; +∞[

1. 1 Déterminer l'ensemble de définition de f
2. 2 Calculer la dérivée f'(x)
3. 3 Factoriser ou simplifier f'(x) si possible
4. 4 Étudier le signe de f'(x) (résoudre f'(x) = 0, f'(x) > 0, f'(x) < 0)
5. 5 Déduire les intervalles de croissance et de décroissance
6. 6 Dresser le tableau de variations

Soit f(x) = x³ - 3x² + 2 sur ℝ

1. f est définie sur ℝ

2. f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

3. f'(x) = 0 ⟺ x = 0 ou x = 2

4. Signe de f'(x) = 3x(x - 2) :

→ Sur ]-∞; 0[, f'(x) > 0 (croissante)

→ Sur ]0; 2[, f'(x) < 0 (décroissante)

→ Sur ]2; +∞[, f'(x) > 0 (croissante)

5. Intervalles de croissance : ]-∞; 0] et [2; +∞[

Intervalles de décroissance : [0; 2]

Intervalles de croissance : ]-∞; 1] et [3; +∞[

Intervalle de décroissance : [1; 3]

La fonction f est strictement croissante sur ]-∞; 1] et [3; +∞[

La fonction f est strictement décroissante sur [1; 3]

La fonction f admet un maximum local en x = 1 et un minimum local en x = 3

x	-∞	1	3	+∞
Signe de f'(x)		+	-	+
Variations de f	-∞	↗	↘	↗
f(x)	-∞	5	1	+∞

1. Ensemble de définition : D = ℝ \ {1}

2. Calcul de la dérivée :

f'(x) = [2x(x-1) - (x²+1)×1]/(x-1)² = [2x² - 2x - x² - 1]/(x-1)² = (x² - 2x - 1)/(x-1)²

3. Étude du signe de f'(x) :

→ Le dénominateur (x-1)² > 0 pour x ≠ 1

→ Étudions le numérateur : x² - 2x - 1 = 0

→ Δ = 4 + 4 = 8, donc x = (2 ± √8)/2 = 1 ± √2

→ x₁ = 1 - √2 ≈ -0.41, x₂ = 1 + √2 ≈ 2.41

Le numérateur x² - 2x - 1 est positif à l'extérieur des racines :

→ Sur ]-∞; 1-√2[, le numérateur > 0 donc f'(x) > 0 (croissante)

→ Sur ]1-√2; 1[, le numérateur < 0 donc f'(x) < 0 (décroissante)

→ Sur ]1; 1+√2[, le numérateur < 0 donc f'(x) < 0 (décroissante)

→ Sur ]1+√2; +∞[, le numérateur > 0 donc f'(x) > 0 (croissante)

Intervalles de croissance : ]-∞; 1-√2] et [1+√2; +∞[

Intervalles de décroissance : [1-√2; 1[ et ]1; 1+√2]

1. f'(x) = 3x² - 6x - 9 = 3(x² - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)

2. f'(x) = 0 ⟺ x = -1 ou x = 3

→ Sur ]-∞; -1[, f'(x) > 0 (croissante)

→ Sur ]-1; 3[, f'(x) < 0 (décroissante)

→ Sur ]3; +∞[, f'(x) > 0 (croissante)

3. Intervalles de croissance : ]-∞; -1] et [3; +∞[

Intervalle de décroissance : [-1; 3]

1. g'(x) = [2(x+2) - (2x-1)×1]/(x+2)² = [2x + 4 - 2x + 1]/(x+2)² = 5/(x+2)²

2. g'(x) > 0 pour tout x ≠ -2 (car 5 > 0 et (x+2)² > 0)

3. Intervalles de croissance : ]-∞; -2[ et ]-2; +∞[

g est strictement croissante sur son ensemble de définition

1. h'(x) = cos(x) - sin(x)

2. h'(x) = 0 ⟺ cos(x) = sin(x) ⟺ tan(x) = 1 ⟺ x = π/4 ou x = 5π/4

h'(x) > 0 ⟺ cos(x) > sin(x)

Sur [0; π/4], cos(x) > sin(x) donc h'(x) > 0 (croissante)

Sur [π/4; 5π/4], cos(x) < sin(x) donc h'(x) < 0 (décroissante)

Sur [5π/4; 2π], cos(x) > sin(x) donc h'(x) > 0 (croissante)

3. Intervalles de croissance : [0; π/4] et [5π/4; 2π]

Intervalle de décroissance : [π/4; 5π/4]

On dispose d'une corde de longueur L = 20 m. Quelles dimensions faut-il donner à un rectangle pour que son aire soit maximale ?

Soit x la largeur du rectangle, alors la longueur est (20 - 2x)/2 = 10 - x

Aire A(x) = x(10 - x) = 10x - x²

A'(x) = 10 - 2x

A'(x) = 0 ⟺ x = 5

Sur ]0; 5[, A'(x) > 0 → A est croissante

Sur ]5; 10[, A'(x) < 0 → A est décroissante

Donc A admet un maximum en x = 5 → le rectangle est un carré de côté 5m.

Une entreprise vend des objets au prix unitaire p(x) = 100 - 0.5x (en euros), où x est la quantité vendue.

Le coût total de production est C(x) = 20x + 500.

Revenu R(x) = x(100 - 0.5x) = 100x - 0.5x²

Profit P(x) = R(x) - C(x) = 80x - 0.5x² - 500

P'(x) = 80 - x

P'(x) = 0 ⟺ x = 80

Sur ]0; 80[, P'(x) > 0 → P est croissante

Sur ]80; +∞[, P'(x) < 0 → P est décroissante

Donc le profit est maximal pour x = 80 objets vendus.

1. 1 Déterminer l'ensemble de définition de la fonction
2. 2 Calculer la dérivée f'(x)
3. 3 Factoriser f'(x) pour étudier son signe
4. 4 Résoudre f'(x) = 0 pour trouver les points critiques
5. 5 Étudier le signe de f'(x) sur chaque intervalle
6. 6 Déduire les intervalles de croissance et de décroissance
7. 7 Interpréter les résultats (extremums, comportement global)

• Toujours vérifier que la fonction est dérivable sur l'intervalle considéré
• Factoriser la dérivée pour faciliter l'étude du signe
• Utiliser des tableaux de signe pour les expressions complexes
• Ne pas oublier d'étudier les bornes de l'intervalle
• Calculer précisément les valeurs aux points critiques
• Indiquer clairement les intervalles de croissance et de décroissance

• Confondre signe de la dérivée et sens de variation
• Oublier d'étudier les bornes de l'ensemble de définition
• Négliger les points où la fonction n'est pas définie
• Se tromper dans le calcul de la dérivée
• Mal interpréter les intervalles de variations

• Une fonction est croissante si f'(x) ≥ 0
• Une fonction est décroissante si f'(x) ≤ 0
• Le signe de la dérivée détermine le sens de variation

• Identification des extremums
• Résolution de problèmes d'optimisation
• Compréhension du comportement global des fonctions

• Déterminer l'ensemble de définition
• Calculer la dérivée
• Étudier le signe de la dérivée
• Déduire les intervalles de croissance/décroissance