Définitions de Base
Fonction croissante sur I : ∀x₁, x₂ ∈ I, x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)
f \text{ croissante sur } I \Leftrightarrow \forall x_1, x_2 \in I, x_1 \leq x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)
f \text{ décroissante sur } I \Leftrightarrow \forall x_1, x_2 \in I, x_1 \leq x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)
Exemples :
f(x) = x² est décroissante sur ]-∞,0] et croissante sur [0,+∞[
f(x) = x³ est croissante sur ℝ
f(x) = 1/x est décroissante sur ]-∞,0[ et sur ]0,+∞[
f(x) = x³ est croissante sur ℝ
f(x) = 1/x est décroissante sur ]-∞,0[ et sur ]0,+∞[
Types d'intervalles :
[a,b]: intervalle fermé
]a,b[: intervalle ouvert
[a,b[: semi-ouvert à droite
]a,b]: semi-ouvert à gauche
]a,b[: intervalle ouvert
[a,b[: semi-ouvert à droite
]a,b]: semi-ouvert à gauche
Critère de Dérivation
f'(x) ≥ 0 ⇒ f croissante
f'(x) ≤ 0 ⇒ f décroissante
f'(x) > 0 ⇒ f strictement croissante
f'(x) < 0 ⇒ f strictement décroissante
Méthode d'Étude
1. \text{ Déterminer } D_f
2. \text{ Calculer } f'(x)
3. \text{ Étudier le signe de } f'(x)
4. \text{ En déduire les variations}
Théorème : Si f est dérivable sur I et f'(x) > 0 (resp. < 0) sur I, alors f est strictement croissante (resp. décroissante) sur I
Conseils & Astuces
Toujours préciser l'intervalle d'étude
Faire attention aux points où f'(x) = 0
Ne pas confondre intervalle de définition et intervalle de monotonie
Utiliser le tableau de signe de f'(x)
Vérifier graphiquement les résultats
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Oublier de préciser l'intervalle de validité
Erreur 2 :
Confondre croissance et stricte croissance
Erreur 3 :
Ne pas tenir compte des points d'annulation de f'(x)
Exemples d'Étude
Applications
Étude de fonctions :
• Déterminer le sens de variation
• Trouver les extrema
• Résoudre des inéquations
• Optimiser des fonctions
• Trouver les extrema
• Résoudre des inéquations
• Optimiser des fonctions
Problèmes d'optimisation :
• Maximiser une aire ou un volume
• Minimiser une distance
• Analyser des phénomènes physiques
• Minimiser une distance
• Analyser des phénomènes physiques