Fonction croissante : Une fonction \(f\) est croissante sur un intervalle \(I\) si pour tous \(x_1, x_2 \in I\), \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)\).
- Dériver la fonction
- Étudier le signe de la dérivée
- Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance
- Identifier les extremums éventuels
\(f(x) = x^2 - 4x + 3\)
\(f'(x) = 2x - 4\)
\(f'(x) = 2x - 4\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
\(f'(x) > 0 \Leftrightarrow 2x - 4 > 0 \Leftrightarrow x > 2\)
\(f'(x) < 0 \Leftrightarrow 2x - 4 < 0 \Leftrightarrow x < 2\)
\(f\) est décroissante sur \((-\infty; 2]\)
\(f\) est croissante sur \([2; +\infty)\)
\(f\) admet un minimum local (et global) en \(x = 2\) égal à \(f(2) = -1\)
La fonction \(f\) est décroissante sur l'intervalle \((-\infty; 2]\) et croissante sur l'intervalle \([2; +\infty)\).
• Dérivation : \((x^n)' = nx^{n-1}\) et \((ax+b)' = a\)
• Signe de la dérivée : Donne le sens de variation de la fonction
• Extremum : Lorsque \(f'\) s'annule et change de signe
Point critique : Point où la dérivée s'annule ou n'existe pas. Si la dérivée change de signe en ce point, c'est un extremum local.
\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1\)
\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)
\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)
\(\Delta = (-6)^2 - 4(3)(2) = 36 - 24 = 12\)
\(x_1 = \frac{6 - \sqrt{12}}{6} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{6} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(x_2 = \frac{6 + \sqrt{12}}{6} = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{6} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\)
Comme \(a = 3 > 0\), \(f'(x) > 0\) pour \(x < x_1\) ou \(x > x_2\)
Et \(f'(x) < 0\) pour \(x_1 < x < x_2\)
\(f\) est croissante sur \((-\infty; 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}]\)
\(f\) est décroissante sur \([1 - \frac{\sqrt{3}}{3}; 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}]\)
\(f\) est croissante sur \([1 + \frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)\)
\(f\) admet un maximum local en \(x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(f\) admet un minimum local en \(x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\)
La fonction \(f\) est croissante sur les intervalles \((-\infty; 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}]\) et \([1 + \frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)\), et décroissante sur l'intervalle \([1 - \frac{\sqrt{3}}{3}; 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}]\).
• Équation du second degré : Calcul du discriminant et des racines
• Signe d'un trinôme : Dépend du signe du coefficient dominant et des racines
• Extremums locaux : Points où la dérivée s'annule et change de signe
Fonction rationnelle : Quotient de deux polynômes. La dérivée s'obtient avec la formule \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).
\(f(x) = \frac{x}{x^2+1}\)
On pose \(u(x) = x\) et \(v(x) = x^2+1\)
Alors \(u'(x) = 1\) et \(v'(x) = 2x\)
\(f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\)
\(f'(x) = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\)
Le dénominateur \((x^2+1)^2 > 0\) pour tout \(x\)
Donc le signe de \(f'(x)\) est celui de \(1-x^2\)
\(1-x^2 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
\(1-x^2 > 0 \Leftrightarrow x^2 < 1 \Leftrightarrow -1 < x < 1\)
\(1-x^2 < 0 \Leftrightarrow x^2 > 1 \Leftrightarrow x < -1 \text{ ou } x > 1\)
\(f\) est décroissante sur \((-\infty; -1]\)
\(f\) est croissante sur \([-1; 1]\)
\(f\) est décroissante sur \([1; +\infty)\)
\(f\) admet un minimum local en \(x = -1\) et un maximum local en \(x = 1\)
La fonction \(f\) est décroissante sur les intervalles \((-\infty; -1]\) et \([1; +\infty)\), et croissante sur l'intervalle \([-1; 1]\).
• Dérivée d'un quotient : \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
• Signe d'une fraction : Dépend du signe du numérateur (dénominateur positif)
• Limites : \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0\) pour cette fonction rationnelle
Domaine de définition : Ensemble des réels \(x\) pour lesquels \(f(x)\) est défini. Pour une fraction rationnelle, il faut que le dénominateur soit non nul.
\(f(x) = \frac{x^2-4}{x-1}\) est définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{1\} = ]-\infty; 1[ \cup ]1; +\infty[\)
\(f(x) = \frac{x^2-4}{x-1}\)
On pose \(u(x) = x^2-4\) et \(v(x) = x-1\)
Alors \(u'(x) = 2x\) et \(v'(x) = 1\)
\(f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2-4) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2x^2-2x-x^2+4}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x+4}{(x-1)^2}\)
\(f'(x) = \frac{x^2-2x+4}{(x-1)^2}\)
Le dénominateur \((x-1)^2 > 0\) pour tout \(x \neq 1\)
Étudions le numérateur : \(x^2-2x+4\)
\(\Delta = (-2)^2 - 4(1)(4) = 4 - 16 = -12 < 0\)
Comme \(\Delta < 0\) et \(a = 1 > 0\), le numérateur est toujours strictement positif
Donc \(f'(x) > 0\) pour tout \(x \neq 1\)
\(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty; 1[\)
\(f\) est strictement croissante sur \(]1; +\infty[\)
\(f\) est strictement croissante sur chaque intervalle de son ensemble de définition
\(f\) n'admet pas d'extremum local
La fonction \(f\) est strictement croissante sur les intervalles \(]-\infty; 1[\) et \(]1; +\infty[\). Elle n'admet pas d'extremum local.
• Domaine de définition : Toujours préciser avant d'étudier une fonction
• Signe d'un trinôme : Si \(\Delta < 0\) et \(a > 0\), alors le trinôme est toujours positif
• Fonction sans extremum : Si \(f'\) ne s'annule jamais et garde un signe constant
Fonction irrationnelle : Fonction contenant des racines carrées. Le domaine de définition est limité par la condition que le radicande soit positif.
\(f(x) = \sqrt{x^2+1}\)
Pour tout réel \(x\), \(x^2+1 > 0\), donc \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\)
\(f(x) = \sqrt{x^2+1} = (x^2+1)^{1/2}\)
\(f'(x) = \frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)
\(f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)
Le dénominateur \(\sqrt{x^2+1} > 0\) pour tout \(x\)
Donc le signe de \(f'(x)\) est le même que le signe de \(x\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
\(f'(x) > 0 \Leftrightarrow x > 0\)
\(f'(x) < 0 \Leftrightarrow x < 0\)
\(f\) est décroissante sur \((-\infty; 0]\)
\(f\) est croissante sur \([0; +\infty)\)
\(f\) admet un minimum global en \(x = 0\) égal à \(f(0) = 1\)
La fonction \(f\) est décroissante sur l'intervalle \((-\infty; 0]\) et croissante sur l'intervalle \([0; +\infty)\).
• Dérivée d'une racine : \((\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}\)
• Domaine de définition : Vérifier que le radicande est positif
• Minimum global : Lorsque la fonction est minimale sur tout son domaine
- Étape 1 : Déterminer le domaine de définition de la fonction
- Étape 2 : Calculer la dérivée de la fonction
- Étape 3 : Étudier le signe de la dérivée (factoriser si nécessaire)
- Étape 4 : Déterminer les intervalles où la dérivée est positive (croissance)
- Étape 5 : Déterminer les intervalles où la dérivée est négative (décroissance)
- Étape 6 : Identifier les points critiques (où la dérivée s'annule)
- Étape 7 : Conclure sur les intervalles de croissance et de décroissance
- Le signe de la dérivée détermine le sens de variation de la fonction
- Un extremum local se trouve là où la dérivée s'annule et change de signe
- Une fonction continue sur un segment admet un maximum et un minimum
- La dérivée d'une somme est la somme des dérivées
- Pour un produit, utiliser la formule : \((uv)' = u'v + uv'\)
- Pour un quotient, utiliser la formule : \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
- Fonction croissante : \(f(x_1) \leq f(x_2)\) quand \(x_1 < x_2\)
- Fonction décroissante : \(f(x_1) \geq f(x_2)\) quand \(x_1 < x_2\)
- Fonction strictement croissante : \(f(x_1) < f(x_2)\) quand \(x_1 < x_2\)
- Fonction strictement décroissante : \(f(x_1) > f(x_2)\) quand \(x_1 < x_2\)
