Asymptote verticale : Une droite d'équation \(x = a\) est une asymptote verticale à la courbe de \(f\) si \(\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\).
- Identifier les points où la fonction n'est pas définie (valeurs interdites)
- Calculer les limites aux bornes du domaine de définition
- Identifier les asymptotes verticales
- Calculer les limites à l'infini pour les asymptotes horizontales
- Calculer les limites de \(f(x)/x\) et de \(f(x)-ax\) pour les asymptotes obliques
\(f(x) = \frac{2x+1}{x-3}\)
La fonction n'est pas définie pour \(x = 3\) (dénominateur nul)
Donc \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\} = ]-\infty; 3[ \cup ]3; +\infty[\)
\(\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{2x+1}{x-3}\)
Quand \(x \to 3^-\), \(2x+1 \to 7\) et \(x-3 \to 0^-\)
Donc \(\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty\)
\(\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} \frac{2x+1}{x-3}\)
Quand \(x \to 3^+\), \(2x+1 \to 7\) et \(x-3 \to 0^+\)
Donc \(\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty\)
Conclusion : \(x = 3\) est une asymptote verticale
\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x+1}{x-3}\)
On factorise les termes dominants : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x(2+\frac{1}{x})}{x(1-\frac{3}{x})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}} = \frac{2}{1} = 2\)
\(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x+1}{x-3} = 2\)
Conclusion : \(y = 2\) est une asymptote horizontale en \(+\infty\) et \(-\infty\)
La courbe admet une asymptote verticale d'équation \(x = 3\)
La courbe admet une asymptote horizontale d'équation \(y = 2\) en \(+\infty\) et \(-\infty\)
La fonction admet une asymptote verticale d'équation \(x = 3\) et une asymptote horizontale d'équation \(y = 2\).
• Asymptote verticale : Se produit aux valeurs interdites où la fonction tend vers l'infini
• Asymptote horizontale : Lorsque la limite à l'infini est finie
• Technique de calcul : Factoriser les termes dominants pour lever l'indétermination
Asymptote oblique : Une droite d'équation \(y = ax + b\) est une asymptote oblique à la courbe de \(f\) si \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0\).
\(f(x) = \frac{x^2-1}{x+2}\)
La fonction n'est pas définie pour \(x = -2\) (dénominateur nul)
Donc \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2\} = ]-\infty; -2[ \cup ]-2; +\infty[\)
\(\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^-} \frac{x^2-1}{x+2}\)
Quand \(x \to -2^-\), \(x^2-1 \to 3\) et \(x+2 \to 0^-\)
Donc \(\lim_{x \to -2^-} f(x) = -\infty\)
\(\lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} \frac{x^2-1}{x+2}\)
Quand \(x \to -2^+\), \(x^2-1 \to 3\) et \(x+2 \to 0^+\)
Donc \(\lim_{x \to -2^+} f(x) = +\infty\)
Conclusion : \(x = -2\) est une asymptote verticale
\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2-1}{x+2}\)
C'est une forme indéterminée \(\frac{\infty}{\infty}\)
On effectue la division euclidienne : \(x^2-1 = (x+2)(x-2) + 3\)
Donc \(f(x) = x-2 + \frac{3}{x+2}\)
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{3}{x+2} = 0\)
Donc \(\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x-2)] = 0\)
De même pour \(x \to -\infty\) : \(y = x-2\) est une asymptote oblique
La courbe admet une asymptote verticale d'équation \(x = -2\)
La courbe admet une asymptote oblique d'équation \(y = x-2\) en \(+\infty\) et \(-\infty\)
La fonction admet une asymptote verticale d'équation \(x = -2\) et une asymptote oblique d'équation \(y = x-2\).
• Division euclidienne : Pour les fractions rationnelles avec numérateur de degré supérieur au dénominateur
• Asymptote oblique : Lorsque le quotient tend vers une droite affine
• Calcul de la limite : Utiliser la forme décomposée pour trouver l'asymptote
Quantité conjuguée : Technique pour lever les indéterminations du type \(\infty - \infty\) avec des expressions contenant des racines carrées.
\(f(x) = \sqrt{x^2+1} - x\)
Pour tout réel \(x\), \(x^2+1 > 0\), donc \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\)
\(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+1} - x)\)
C'est une forme indéterminée \(\infty - \infty\)
On multiplie par la quantité conjuguée :
\(\sqrt{x^2+1} - x = \frac{(\sqrt{x^2+1} - x)(\sqrt{x^2+1} + x)}{\sqrt{x^2+1} + x} = \frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1} + x} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1} + x}\)
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+1} + x}\)
Quand \(x \to +\infty\), \(\sqrt{x^2+1} + x \to +\infty\)
Donc \(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+1} + x} = 0\)
Conclusion : \(y = 0\) est une asymptote horizontale en \(+\infty\)
\(\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+1} - x)\)
Quand \(x \to -\infty\), \(x < 0\), donc \(\sqrt{x^2} = |x| = -x\)
\(\sqrt{x^2+1} \sim |x| = -x\) quand \(x \to -\infty\)
\(\sqrt{x^2+1} - x \sim -x - x = -2x \to +\infty\)
Pour trouver l'asymptote oblique, on calcule :
\(\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2+1} - x}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} - 1\)
\(= \lim_{x \to -\infty} \frac{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x} - 1 = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x} - 1 = \lim_{x \to -\infty} (-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}) - 1 = -2\)
\(\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (-2x)] = \lim_{x \to -\infty} [\sqrt{x^2+1} - x + 2x] = \lim_{x \to -\infty} [\sqrt{x^2+1} + x]\)
En utilisant la quantité conjuguée : \(\sqrt{x^2+1} + x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1} - x} \to 0\)
Donc \(y = -2x\) est une asymptote oblique en \(-\infty\)
La courbe admet une asymptote horizontale d'équation \(y = 0\) en \(+\infty\)
La courbe admet une asymptote oblique d'équation \(y = -2x\) en \(-\infty\)
La fonction admet une asymptote horizontale d'équation \(y = 0\) en \(+\infty\) et une asymptote oblique d'équation \(y = -2x\) en \(-\infty\).
• Quantité conjuguée : Pour lever les indéterminations du type \(\infty - \infty\) avec racines
• Asymptote oblique : Calculer \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}\) puis \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - ax]\)
• Manipulation des racines : \(\sqrt{x^2} = |x|\), donc traiter séparément \(x \to +\infty\) et \(x \to -\infty\)
Division de polynômes : Lorsque le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur, on peut effectuer la division euclidienne pour décomposer la fonction.
\(f(x) = \frac{x^3+2x}{x^2+1}\)
Pour tout réel \(x\), \(x^2+1 > 0\), donc \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\)
On effectue la division de \(x^3+2x\) par \(x^2+1\)
\(x^3 + 2x = (x^2+1) \cdot x + (x - x) = (x^2+1) \cdot x + 0\)
Correction : \(x^3 + 2x = (x^2+1) \cdot x + x\)
\(x^3 + 2x = x^3 + x + x = x^3 + 2x\) ✓
Donc \(f(x) = x + \frac{x}{x^2+1}\)
\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x + \frac{x}{x^2+1}\right)\)
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x^2+1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x+\frac{1}{x}} = 0\)
Donc \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\)
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + \frac{x}{x^2+1}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x^2+1}\right) = 1\)
\(\lim_{x \to +\infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x^2+1} = 0\)
Conclusion : \(y = x\) est une asymptote oblique en \(+\infty\)
De manière similaire :
\(\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = 1\)
\(\lim_{x \to -\infty} [f(x) - x] = 0\)
Conclusion : \(y = x\) est aussi une asymptote oblique en \(-\infty\)
Comme la fonction est définie sur \(\mathbb{R}\), il n'y a pas d'asymptote verticale.
Il n'y a pas d'asymptote horizontale car \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty\).
La courbe admet une asymptote oblique d'équation \(y = x\) en \(+\infty\) et \(-\infty\)
La fonction admet une asymptote oblique d'équation \(y = x\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).
• Division euclidienne : Pour les fractions rationnelles avec numérateur de degré supérieur au dénominateur
• Asymptote oblique : Lorsque le quotient tend vers une droite affine
• Calcul de la limite : Utiliser la forme décomposée pour trouver l'asymptote
Fonction exponentielle : La fonction \(x \mapsto e^x\) a des propriétés particulières concernant les limites : \(\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\) et \(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\).
\(f(x) = \frac{e^x}{x}\)
La fonction n'est pas définie pour \(x = 0\) (dénominateur nul)
Donc \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\} = ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[\)
\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x}{x}\)
Quand \(x \to 0^+\), \(e^x \to 1\) et \(x \to 0^+\)
Donc \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\)
\(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{e^x}{x}\)
Quand \(x \to 0^-\), \(e^x \to 1\) et \(x \to 0^-\)
Donc \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty\)
Conclusion : \(x = 0\) est une asymptote verticale
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x}\)
C'est une forme indéterminée \(\frac{\infty}{\infty}\)
On sait que \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty\) pour tout \(n > 0\)
Donc \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty\)
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2} = +\infty\)
Il n'y a pas d'asymptote oblique en \(+\infty\)
\(\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x}\)
Quand \(x \to -\infty\), \(e^x \to 0\) et \(x \to -\infty\)
C'est une forme indéterminée \(\frac{0}{-\infty}\)
On pose \(X = -x\), donc \(x = -X\) et \(x \to -\infty \Leftrightarrow X \to +\infty\)
\(\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x} = \lim_{X \to +\infty} \frac{e^{-X}}{-X} = \lim_{X \to +\infty} \frac{1}{-Xe^X} = 0\)
Conclusion : \(y = 0\) est une asymptote horizontale en \(-\infty\)
La courbe admet une asymptote verticale d'équation \(x = 0\)
La courbe admet une asymptote horizontale d'équation \(y = 0\) en \(-\infty\)
Il n'y a pas d'asymptote en \(+\infty\) (la fonction tend vers \(+\infty\) plus rapidement que toute droite)
La fonction admet une asymptote verticale d'équation \(x = 0\) et une asymptote horizontale d'équation \(y = 0\) en \(-\infty\).
• Propriétés de l'exponentielle : \(\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\) et \(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\)
• Croissances comparées : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty\) pour tout \(n > 0\)
• Changement de variable : Pour les limites en \(-\infty\) avec exponentielle
- Asymptote verticale : Chercher les valeurs interdites et calculer les limites en ces points
- Asymptote horizontale : Calculer les limites à l'infini (si elles existent et sont finies)
- Asymptote oblique : Calculer \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = a\), puis \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - ax] = b\)
- Interprétation : Vérifier que \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0\)
- Une asymptote verticale se trouve aux valeurs interdites où la fonction tend vers l'infini
- Une asymptote horizontale se trouve lorsque la limite à l'infini est finie
- Une asymptote oblique se trouve lorsque la fonction tend vers une droite affine
- Une fonction rationnelle admet une asymptote oblique si le degré du numérateur dépasse de 1 celui du dénominateur
- La quantité conjuguée est utile pour lever les indéterminations avec des racines carrées
- Les croissances comparées permettent de lever certaines formes indéterminées
- Verticale : \(x = a\) si \(\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\)
- Horizontale : \(y = L\) si \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L\)
- Oblique : \(y = ax + b\) si \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0\)
