Tableau de variations : Représentation graphique du sens de variation d'une fonction sur son ensemble de définition.
- Déterminer l'ensemble de définition de la fonction
- Calculer la dérivée de la fonction
- Étudier le signe de la dérivée
- Identifier les points où la dérivée s'annule ou n'existe pas
- Calculer les valeurs de la fonction aux points critiques
- Tracer le tableau avec les bornes, les variations et les valeurs
\(f(x) = x^2 - 4x + 3\)
\(f'(x) = 2x - 4\)
\(f'(x) = 2x - 4\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
\(f'(x) > 0 \Leftrightarrow 2x - 4 > 0 \Leftrightarrow x > 2\)
\(f'(x) < 0 \Leftrightarrow 2x - 4 < 0 \Leftrightarrow x < 2\)
\(f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\)
| \(x\) | \(-\infty\) | 2 | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | - | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | \(-1\) | ↗ | \(+\infty\) |
\(f\) est décroissante sur \((-\infty; 2]\) et croissante sur \([2; +\infty)\)
\(f\) admet un minimum local (et global) en \(x = 2\) égal à \(f(2) = -1\)
\(f\) est décroissante sur \((-\infty; 2]\) et croissante sur \([2; +\infty)\), avec un minimum en \(x = 2\) valant \(-1\).
• Dérivation : \((x^n)' = nx^{n-1}\) et \((ax+b)' = a\)
• Signe de la dérivée : Donne le sens de variation de la fonction
• Extremum : Lorsque \(f'\) s'annule et change de signe
Point d'inflexion : Point où la convexité de la fonction change, souvent là où \(f''(x) = 0\).
\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)
\(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\)
\(f'(x) = 3x(x - 2)\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \text{ ou } x = 2\)
Tableau de signes :
| \(x\) | \(-\infty\) | 0 | 2 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(3x\) | - | 0 | + | + | |||
| \(x-2\) | - | - | 0 | + | |||
| \(f'(x)\) | + | 0 | - | 0 | + |
\(f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2\)
\(f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2\)
| \(x\) | \(-\infty\) | 0 | 2 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | + | 0 | - | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | ↗ | 2 | ↘ | -2 | ↗ | \(+\infty\) |
\(f\) est croissante sur \((-\infty; 0]\), décroissante sur \([0; 2]\), puis croissante sur \([2; +\infty)\)
\(f\) admet un maximum local en \(x = 0\) égal à 2 et un minimum local en \(x = 2\) égal à -2
\(f\) est croissante sur \((-\infty; 0]\), décroissante sur \([0; 2]\), puis croissante sur \([2; +\infty)\). Elle admet un maximum local en \(x = 0\) égal à 2 et un minimum local en \(x = 2\) égal à -2.
• Produit de facteurs : On étudie le signe de chaque facteur séparément
• Tableau de signes : Utile pour les expressions factorisées
• Extremums locaux : Points où la dérivée s'annule et change de signe
Fonction rationnelle : Quotient de deux polynômes. La dérivée s'obtient avec la formule \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).
\(f(x) = \frac{x}{x^2+1}\)
On pose \(u(x) = x\) et \(v(x) = x^2+1\)
Alors \(u'(x) = 1\) et \(v'(x) = 2x\)
\(f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\)
\(f'(x) = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\)
Le dénominateur \((x^2+1)^2 > 0\) pour tout \(x\)
Donc le signe de \(f'(x)\) est celui de \(1-x^2\)
\(1-x^2 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
\(1-x^2 > 0 \Leftrightarrow x^2 < 1 \Leftrightarrow -1 < x < 1\)
\(1-x^2 < 0 \Leftrightarrow x^2 > 1 \Leftrightarrow x < -1 \text{ ou } x > 1\)
\(f(-1) = \frac{-1}{(-1)^2+1} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}\)
\(f(1) = \frac{1}{1^2+1} = \frac{1}{2}\)
| \(x\) | \(-\infty\) | -1 | 1 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | - | 0 | + | 0 | - | ||
| \(f(x)\) | 0 | ↘ | \(-\frac{1}{2}\) | ↗ | \(\frac{1}{2}\) | ↘ | 0 |
\(f\) est décroissante sur \((-\infty; -1]\), croissante sur \([-1; 1]\), puis décroissante sur \([1; +\infty)\)
\(f\) admet un minimum local en \(x = -1\) égal à \(-\frac{1}{2}\) et un maximum local en \(x = 1\) égal à \(\frac{1}{2}\)
\(f\) est décroissante sur \((-\infty; -1]\), croissante sur \([-1; 1]\), puis décroissante sur \([1; +\infty)\). Elle admet un minimum local en \(x = -1\) égal à \(-\frac{1}{2}\) et un maximum local en \(x = 1\) égal à \(\frac{1}{2}\).
• Dérivée d'un quotient : \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
• Signe d'une fraction : Dépend du signe du numérateur (dénominateur positif)
• Limites : \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0\) pour cette fonction rationnelle
Domaine de définition : Ensemble des réels \(x\) pour lesquels \(f(x)\) est défini. Pour une fraction rationnelle, il faut que le dénominateur soit non nul.
\(f(x) = \frac{x^2-1}{x}\) est définie sur \(\mathbb{R}^* = ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[\)
\(f(x) = \frac{x^2-1}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{1}{x} = x - \frac{1}{x}\)
\(f(x) = x - \frac{1}{x} = x - x^{-1}\)
\(f'(x) = 1 - (-1)x^{-2} = 1 + \frac{1}{x^2}\)
\(f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2}\)
Pour tout \(x \neq 0\), on a \(x^2 > 0\), donc \(\frac{1}{x^2} > 0\)
Par conséquent, \(f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2} > 1 > 0\)
La dérivée est strictement positive sur tout le domaine de définition.
\(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \left(x - \frac{1}{x}\right) = 0 - (-\infty) = +\infty\)
\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(x - \frac{1}{x}\right) = 0 - (+\infty) = -\infty\)
\(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\)
| \(x\) | \(-\infty\) | 0 | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | + | + | |||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | ↗ | \(\parallel\) | ↗ | \(+\infty\) |
\(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty; 0[\) et sur \(]0; +\infty[\)
\(f\) n'admet aucun extremum car sa dérivée ne s'annule jamais
\(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty; 0[\) et sur \(]0; +\infty[\). Elle n'admet aucun extremum car sa dérivée ne s'annule jamais.
• Domaine de définition : Toujours préciser avant d'étudier une fonction
• Simplification : Parfois utile pour faciliter les calculs
• Fonction sans extremum : Si \(f'\) ne s'annule jamais et garde un signe constant
Fonction irrationnelle : Fonction contenant des racines carrées. Le domaine de définition est limité par la condition que le radicande soit positif.
\(f(x) = \sqrt{x^2+1}\)
Pour tout réel \(x\), \(x^2+1 > 0\), donc \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\)
\(f(x) = \sqrt{x^2+1} = (x^2+1)^{1/2}\)
\(f'(x) = \frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)
\(f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)
Le dénominateur \(\sqrt{x^2+1} > 0\) pour tout \(x\)
Donc le signe de \(f'(x)\) est le même que le signe de \(x\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
\(f'(x) > 0 \Leftrightarrow x > 0\)
\(f'(x) < 0 \Leftrightarrow x < 0\)
\(f(0) = \sqrt{0^2+1} = \sqrt{1} = 1\)
| \(x\) | \(-\infty\) | 0 | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | - | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | 1 | ↗ | \(+\infty\) |
\(f\) est décroissante sur \((-\infty; 0]\) et croissante sur \([0; +\infty)\)
\(f\) admet un minimum global en \(x = 0\) égal à \(f(0) = 1\)
\(f\) est décroissante sur \((-\infty; 0]\) et croissante sur \([0; +\infty)\). Elle admet un minimum global en \(x = 0\) égal à 1.
• Dérivée d'une racine : \((\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}\)
• Domaine de définition : Vérifier que le radicande est positif
• Minimum global : Lorsque la fonction est minimale sur tout son domaine
- Étape 1 : Déterminer le domaine de définition de la fonction
- Étape 2 : Calculer la dérivée de la fonction
- Étape 3 : Étudier le signe de la dérivée (factoriser si nécessaire)
- Étape 4 : Déterminer les points critiques (où \(f'\) s'annule ou n'existe pas)
- Étape 5 : Calculer les valeurs de la fonction aux points critiques et aux bornes
- Étape 6 : Tracer le tableau avec les bornes, les points critiques, les variations et les valeurs
- Étape 7 : Interpréter les résultats (extremums, comportement asymptotique)
- Le signe de la dérivée détermine le sens de variation de la fonction
- Un extremum local se trouve là où la dérivée s'annule et change de signe
- Une fonction continue sur un segment admet un maximum et un minimum
- La dérivée d'une somme est la somme des dérivées
- Pour un produit, utiliser la formule : \((uv)' = u'v + uv'\)
- Pour un quotient, utiliser la formule : \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
- Maximum local : Valeur la plus grande dans un voisinage du point
- Minimum local : Valeur la plus petite dans un voisinage du point
- Maximum global : Valeur la plus grande sur tout l'intervalle de définition
- Minimum global : Valeur la plus petite sur tout l'intervalle de définition
