Point critique : Un point \(a\) est un point critique de \(f\) si \(f'(a) = 0\) ou si \(f'(a)\) n'existe pas.
- Dériver la fonction
- Rechercher les solutions de \(f'(x) = 0\)
- Identifier les points où la dérivée n'existe pas
- Classer les points critiques (maximum, minimum, point d'inflexion)
\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)
\(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x(x - 2) = 0\)
\(x = 0\) ou \(x = 2\)
La dérivée est un polynôme, donc elle est définie pour tout réel.
Les points critiques sont : \(x = 0\) et \(x = 2\)
Étudions le signe de \(f'(x)\) :
\(f'(x) = 3x(x - 2)\)
Pour \(x < 0\) : \(f'(x) = 3x(x-2) > 0\) (car \(x < 0\) et \(x-2 < 0\))
Pour \(0 < x < 2\) : \(f'(x) = 3x(x-2) < 0\) (car \(x > 0\) et \(x-2 < 0\))
Pour \(x > 2\) : \(f'(x) = 3x(x-2) > 0\) (car \(x > 0\) et \(x-2 > 0\))
En \(x = 0\) : \(f'\) change de + à -, donc c'est un maximum local
En \(x = 2\) : \(f'\) change de - à +, donc c'est un minimum local
\(f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2\)
\(f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2\)
Les points critiques de \(f\) sont \(x = 0\) (maximum local) et \(x = 2\) (minimum local).
• Points critiques : Solutions de \(f'(x) = 0\) ou points où \(f'\) n'existe pas
• Classification : Analyse du signe de la dérivée autour des points critiques
• Extremums : Changement de signe de la dérivée
Point d'inflexion : Point où la convexité de la fonction change, souvent là où \(f''(x) = 0\).
\(f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2\)
\(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x = 4x(x^2 - 3x + 3)\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 4x(x^2 - 3x + 3) = 0\)
Soit \(x = 0\) ou \(x^2 - 3x + 3 = 0\)
Pour \(x^2 - 3x + 3 = 0\) : \(\Delta = 9 - 12 = -3 < 0\)
Donc cette équation n'a pas de solutions réelles.
Le seul point critique est : \(x = 0\)
Étudions le signe de \(f'(x) = 4x(x^2 - 3x + 3)\)
\(x^2 - 3x + 3\) est toujours strictement positif (car \(\Delta < 0\) et \(a > 0\))
Donc le signe de \(f'(x)\) est le même que le signe de \(x\)
Pour \(x < 0\) : \(f'(x) < 0\)
Pour \(x > 0\) : \(f'(x) > 0\)
En \(x = 0\) : \(f'\) change de - à +, donc c'est un minimum local
\(f(0) = 0^4 - 4(0)^3 + 6(0)^2 = 0\)
Le point critique de \(f\) est \(x = 0\) (minimum local).
• Équation du second degré : Calcul du discriminant pour déterminer les racines
• Signe d'un trinôme : Si \(\Delta < 0\) et \(a > 0\), alors le trinôme est toujours positif
• Classification : Changement de signe de la dérivée
Valeur absolue : \(|x| = x\) si \(x \geq 0\) et \(|x| = -x\) si \(x < 0\). La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
\(f(x) = |x^2 - 4|\)
\(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\)
\(x^2 - 4 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq -2 \text{ ou } x \geq 2\)
\(x^2 - 4 < 0 \Leftrightarrow -2 < x < 2\)
Donc : \(f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x \leq -2 \text{ ou } x \geq 2 \\ -(x^2 - 4) = -x^2 + 4 & \text{si } -2 < x < 2 \end{cases}\)
Pour \(x < -2\) ou \(x > 2\) : \(f'(x) = 2x\)
Pour \(-2 < x < 2\) : \(f'(x) = -2x\)
Points où \(f'(x) = 0\) :
Pour \(x < -2\) ou \(x > 2\) : \(2x = 0 \Rightarrow x = 0\), mais \(0 \notin ]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[\)
Pour \(-2 < x < 2\) : \(-2x = 0 \Rightarrow x = 0\), et \(0 \in ]-2, 2[\)
Donc \(x = 0\) est un point critique.
Points où \(f'\) n'existe pas :
Les points \(x = -2\) et \(x = 2\) sont des points anguleux où la dérivée n'existe pas.
En \(x = 0\) : \(f'(x) = -2x\), donc pour \(x\) proche de 0, \(f'(x) > 0\) pour \(x < 0\) et \(f'(x) < 0\) pour \(x > 0\)
Donc \(f'\) change de + à -, donc \(x = 0\) est un maximum local.
En \(x = -2\) et \(x = 2\) : Ce sont des points anguleux (non dérivables), donc des points critiques.
\(f(-2) = |4 - 4| = 0\) et \(f(2) = |4 - 4| = 0\)
Autour de ces points, \(f(x) \geq 0\), donc ce sont des minima locaux.
\(f(0) = |0 - 4| = 4\)
\(f(-2) = |4 - 4| = 0\)
\(f(2) = |4 - 4| = 0\)
Les points critiques de \(f\) sont \(x = -2\) (minimum local), \(x = 0\) (maximum local) et \(x = 2\) (minimum local).
• Fonction avec valeur absolue : Traitement par morceaux selon le signe de l'expression
• Points non dérivables : Les points anguleux sont des points critiques
• Classification : Analyse du comportement local de la fonction
Fonction rationnelle : Quotient de deux polynômes. La dérivée s'obtient avec la formule \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).
\(f(x) = \frac{x^2}{x^2-1}\)
La fonction n'est pas définie pour \(x^2 - 1 = 0\), c'est-à-dire pour \(x = \pm 1\)
Donc \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}\)
\(f(x) = \frac{x^2}{x^2-1}\)
On pose \(u(x) = x^2\) et \(v(x) = x^2-1\)
Alors \(u'(x) = 2x\) et \(v'(x) = 2x\)
\(f'(x) = \frac{2x(x^2-1) - x^2 \cdot 2x}{(x^2-1)^2} = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3}{(x^2-1)^2} = \frac{-2x}{(x^2-1)^2}\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{-2x}{(x^2-1)^2} = 0\)
\(\Leftrightarrow -2x = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 0\)
La dérivée n'existe pas pour \(x^2 - 1 = 0\), c'est-à-dire pour \(x = \pm 1\), mais ces points ne sont pas dans le domaine de définition.
Le seul point critique est : \(x = 0\)
\(f'(x) = \frac{-2x}{(x^2-1)^2}\)
\((x^2-1)^2 > 0\) pour tout \(x \neq \pm 1\)
Donc le signe de \(f'(x)\) est le contraire du signe de \(x\)
Pour \(x < 0\) : \(f'(x) > 0\)
Pour \(x > 0\) : \(f'(x) < 0\)
En \(x = 0\) : \(f'\) change de + à -, donc c'est un maximum local
\(f(0) = \frac{0^2}{0^2-1} = \frac{0}{-1} = 0\)
Le point critique de \(f\) est \(x = 0\) (maximum local).
• Domaine de définition : Toujours préciser avant d'étudier une fonction
• Dérivée d'un quotient : \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
• Points critiques : Seulement dans le domaine de définition de la fonction
Fonction avec exposant fractionnaire : \(x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}\). La dérivée de \(x^{m/n}\) est \(\frac{m}{n}x^{(m/n)-1}\).
\(f(x) = x^{2/3}(x-2)\)
La fonction \(x^{2/3}\) est définie pour tout réel \(x\)
Donc \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\)
\(f(x) = x^{2/3}(x-2)\)
Utilisons la règle du produit : \((uv)' = u'v + uv'\)
\(u(x) = x^{2/3}\), donc \(u'(x) = \frac{2}{3}x^{(2/3)-1} = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3x^{1/3}}\)
\(v(x) = x-2\), donc \(v'(x) = 1\)
\(f'(x) = \frac{2}{3x^{1/3}} \cdot (x-2) + x^{2/3} \cdot 1\)
\(f'(x) = \frac{2(x-2)}{3x^{1/3}} + x^{2/3}\)
\(f'(x) = \frac{2(x-2) + 3x^{1/3} \cdot x^{2/3}}{3x^{1/3}} = \frac{2(x-2) + 3x}{3x^{1/3}} = \frac{2x-4+3x}{3x^{1/3}} = \frac{5x-4}{3x^{1/3}}\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{5x-4}{3x^{1/3}} = 0\)
\(\Leftrightarrow 5x-4 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{4}{5}\)
\(f'(x)\) n'existe pas pour \(x = 0\) (car \(x^{1/3} = 0\) au dénominateur)
Les points critiques sont : \(x = \frac{4}{5}\) et \(x = 0\)
\(f'(x) = \frac{5x-4}{3x^{1/3}}\)
Étudions le signe de \(f'(x)\) sur chaque intervalle :
Pour \(x < 0\) : \(5x-4 < 0\) et \(x^{1/3} < 0\), donc \(f'(x) > 0\)
Pour \(0 < x < \frac{4}{5}\) : \(5x-4 < 0\) et \(x^{1/3} > 0\), donc \(f'(x) < 0\)
Pour \(x > \frac{4}{5}\) : \(5x-4 > 0\) et \(x^{1/3} > 0\), donc \(f'(x) > 0\)
En \(x = 0\) : \(f'\) change de + à -, donc c'est un maximum local
En \(x = \frac{4}{5}\) : \(f'\) change de - à +, donc c'est un minimum local
\(f(0) = 0^{2/3}(0-2) = 0 \cdot (-2) = 0\)
\(f\left(\frac{4}{5}\right) = \left(\frac{4}{5}\right)^{2/3} \left(\frac{4}{5} - 2\right) = \left(\frac{4}{5}\right)^{2/3} \left(-\frac{6}{5}\right) = -\frac{6}{5} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{2/3}\)
Les points critiques de \(f\) sont \(x = 0\) (maximum local) et \(x = \frac{4}{5}\) (minimum local).
• Dérivée d'exposant fractionnaire : \((x^{m/n})' = \frac{m}{n}x^{(m/n)-1}\)
• Règle du produit : \((uv)' = u'v + uv'\)
• Points non dérivables : Points où la dérivée n'existe pas sont des points critiques
- Étape 1 : Déterminer le domaine de définition de la fonction
- Étape 2 : Calculer la dérivée de la fonction
- Étape 3 : Résoudre l'équation \(f'(x) = 0\)
- Étape 4 : Identifier les points où la dérivée n'existe pas
- Étape 5 : Vérifier que les points trouvés sont dans le domaine de définition
- Étape 6 : Classifier les points critiques (analyse du signe de la dérivée)
- Étape 7 : Interpréter les résultats (extremums locaux, points d'inflexion)
- Les points critiques sont les candidats potentiels pour les extremums locaux
- Un point critique est un maximum local si la dérivée change de + à -
- Un point critique est un minimum local si la dérivée change de - à +
- La dérivée d'une somme est la somme des dérivées
- Pour un produit, utiliser la formule : \((uv)' = u'v + uv'\)
- Pour un quotient, utiliser la formule : \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
- Maximum local : \(f'(a) = 0\) et \(f'\) change de + à - en \(a\)
- Minimum local : \(f'(a) = 0\) et \(f'\) change de - à + en \(a\)
- Point d'inflexion : \(f'(a) = 0\) mais \(f'\) ne change pas de signe en \(a\)
- Point non dérivable : \(f'(a)\) n'existe pas mais \(f\) est définie en \(a\)
