Points critiques des fonctions

Un point critique d'une fonction f est un point x₀ de son domaine de définition où :

• Soit f'(x₀) = 0 (la dérivée s'annule)
• Soit f n'est pas dérivable en x₀

Les points critiques sont les candidats potentiels pour les extremums locaux ou globaux.

• Points stationnaires : f'(x₀) = 0
• Points singuliers : f n'est pas dérivable en x₀
• Points de discontinuité : f n'est pas continue en x₀

Exemple 1 : f(x) = x²

f'(x) = 2x, donc f'(x) = 0 ⟺ x = 0

x = 0 est un point critique (stationnaire)

Exemple 2 : f(x) = |x|

f n'est pas dérivable en x = 0

x = 0 est un point critique (singulier)

1. 1 Déterminer l'ensemble de définition de f
2. 2 Identifier les points où f n'est pas dérivable
3. 3 Calculer la dérivée f'(x)
4. 4 Résoudre l'équation f'(x) = 0
5. 5 Vérifier que les solutions appartiennent à l'ensemble de définition
6. 6 Compiler la liste complète des points critiques

Soit f(x) = x³ - 3x² + 2 sur ℝ

1. Ensemble de définition : ℝ (fonction polynomiale)

2. f est dérivable sur ℝ

3. f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

4. f'(x) = 0 ⟺ x = 0 ou x = 2

5. Les deux solutions appartiennent à ℝ

6. Points critiques : x = 0 et x = 2

Pour f(x) = |x|, f n'est pas dérivable en x = 0

Donc x = 0 est un point critique même si f'(x) n'existe pas

Pour f(x) = ∛x, f'(x) = 1/(3∛x²), donc f'(0) n'existe pas

Donc x = 0 est un point critique

Un point x₀ est un maximum local de f s'il existe un intervalle ouvert I contenant x₀ tel que :

Autrement dit, f(x₀) est la plus grande valeur de f sur un voisinage de x₀.

Un point x₀ est un minimum local de f s'il existe un intervalle ouvert I contenant x₀ tel que :

Autrement dit, f(x₀) est la plus petite valeur de f sur un voisinage de x₀.

• Maximum global : f(x₀) ≥ f(x) pour tout x dans le domaine de f
• Minimum global : f(x₀) ≤ f(x) pour tout x dans le domaine de f

Un point d'inflexion est un point où la courbure de la fonction change de signe.

À un point d'inflexion, la dérivée seconde s'annule et change de signe.

Exemple : f(x) = x³ en x = 0

Soit x₀ un point critique (f'(x₀) = 0). Alors :

• Si f' change de signe de + à - en x₀, alors x₀ est un maximum local
• Si f' change de signe de - à + en x₀, alors x₀ est un minimum local
• Si f' ne change pas de signe en x₀, alors x₀ n'est pas un extremum

Exemple : f(x) = x³ - 3x²

f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

• En x = 0 : f' change de + à - → maximum local

• En x = 2 : f' change de - à + → minimum local

Soit x₀ un point critique (f'(x₀) = 0). Alors :

• Si f''(x₀) > 0, alors x₀ est un minimum local
• Si f''(x₀) < 0, alors x₀ est un maximum local
• Si f''(x₀) = 0, le test est indéterminé

Exemple : f(x) = x⁴ - 4x³

f'(x) = 4x³ - 12x² = 4x²(x - 3)

f''(x) = 12x² - 24x = 12x(x - 2)

• En x = 0 : f''(0) = 0 (test indéterminé)

• En x = 3 : f''(3) = 12×3×1 = 36 > 0 → minimum local

1. Ensemble de définition : ℝ \ {1}

2. g'(x) = [2x(x-1) - (x²+1)×1]/(x-1)² = (x² - 2x - 1)/(x-1)²

3. g'(x) = 0 ⟺ x² - 2x - 1 = 0

Δ = 4 + 4 = 8, donc x = (2 ± √8)/2 = 1 ± √2

4. Points critiques : x = 1 - √2 et x = 1 + √2

5. x = 1 est un point de discontinuité (non dérivable)

6. Étude du signe de g'(x) : x = 1 - √2 est un maximum local, x = 1 + √2 est un minimum local

1. f'(x) = 4x³ - 12x² + 12x - 4 = 4(x³ - 3x² + 3x - 1) = 4(x - 1)³

2. f'(x) = 0 ⟺ x = 1

Point critique : x = 1

3. f''(x) = 12x² - 24x + 12 = 12(x² - 2x + 1) = 12(x - 1)²

f''(1) = 0, donc le test de la dérivée seconde est indéterminé

Étude du signe de f'(x) = 4(x - 1)³ :

→ Pour x < 1, (x - 1) < 0, donc (x - 1)³ < 0 → f'(x) < 0

→ Pour x > 1, (x - 1) > 0, donc (x - 1)³ > 0 → f'(x) > 0

Donc f'(x) change de signe de - à + en x = 1 → x = 1 est un minimum local

1. x² - 4 = (x - 2)(x + 2), donc g(x) = (x - 2)(x + 2)/(x - 2) = x + 2 pour x ≠ 2

2. g(x) = x + 2 avec un point de discontinuité en x = 2

g'(x) = 1 pour x ≠ 2

g'(x) ≠ 0 pour tout x ≠ 2

3. x = 2 est un point critique (non dérivable)

4. g est strictement croissante sur ]-∞; 2[ et ]2; +∞[

Donc x = 2 est un point de discontinuité, pas un extremum

1. h n'est pas dérivable là où x² - 4 = 0, donc en x = -2 et x = 2

2. h(x) = {x² - 4 si x² - 4 ≥ 0, -(x² - 4) si x² - 4 < 0}

h(x) = {x² - 4 si x ≤ -2 ou x ≥ 2, -x² + 4 si -2 < x < 2}

3. h'(x) = {2x si x < -2 ou x > 2, -2x si -2 < x < 2}

h'(x) = 0 ⟺ x = 0 (car x = 0 ∈ ]-2; 2[)

4. Points critiques : x = -2, x = 0, x = 2

• x = 0 : h'(x) change de signe de + à - → maximum local

• x = -2 et x = 2 : points singuliers

On dispose d'une corde de longueur L = 20 m. Quelles dimensions faut-il donner à un rectangle pour que son aire soit maximale ?

Soit x la largeur du rectangle, alors la longueur est (20 - 2x)/2 = 10 - x

Aire A(x) = x(10 - x) = 10x - x²

A'(x) = 10 - 2x

A'(x) = 0 ⟺ x = 5

A''(x) = -2 < 0, donc x = 5 est un maximum local

Donc le rectangle est un carré de côté 5m pour maximiser l'aire.

Une entreprise vend des objets au prix unitaire p(x) = 100 - 0.5x (en euros), où x est la quantité vendue.

Le coût total de production est C(x) = 20x + 500.

Revenu R(x) = x(100 - 0.5x) = 100x - 0.5x²

Profit P(x) = R(x) - C(x) = 80x - 0.5x² - 500

P'(x) = 80 - x

P'(x) = 0 ⟺ x = 80

P''(x) = -1 < 0, donc x = 80 est un maximum local

Le profit est maximal pour x = 80 objets vendus.

1. 1 Déterminer l'ensemble de définition de la fonction
2. 2 Identifier les points où la fonction n'est pas dérivable
3. 3 Calculer la dérivée f'(x)
4. 4 Résoudre f'(x) = 0 pour trouver les points stationnaires
5. 5 Compiler la liste complète des points critiques
6. 6 Classer chaque point critique en utilisant les tests appropriés
7. 7 Interpréter les résultats dans le contexte du problème

• Toujours vérifier que la fonction est dérivable sur l'intervalle considéré
• Identifier correctement les points de discontinuité
• Factoriser la dérivée pour faciliter l'étude du signe
• Utiliser les tests appropriés pour classifier les points critiques
• Ne pas oublier d'étudier les bornes de l'intervalle
• Calculer précisément les valeurs aux points critiques

• Confondre point critique et extremum
• Oublier d'étudier les points de non-dérivabilité
• Négliger les points de discontinuité
• Se tromper dans le calcul de la dérivée
• Mal interpréter les tests d'extremum

• Un point critique est un point où f'(x) = 0 ou f n'est pas dérivable
• Les points critiques sont les candidats pour les extremums
• On distingue les maximums et minimums locaux et globaux

• Identification des extremums locaux ou globaux
• Résolution de problèmes d'optimisation
• Compréhension du comportement global des fonctions

• Déterminer l'ensemble de définition
• Identifier les points critiques
• Classer les points critiques
• Interpréter les résultats