Sens de variation : Une fonction est croissante si \(f'(x) > 0\) et décroissante si \(f'(x) < 0\).
- Dériver la fonction
- Étudier le signe de la dérivée
- Dresser le tableau de variations
- Identifier les extremums éventuels
\(f(x) = x^2 - 4x + 3\)
\(f'(x) = 2x - 4\)
\(f'(x) = 2x - 4\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
\(f'(x) > 0 \Leftrightarrow 2x - 4 > 0 \Leftrightarrow x > 2\)
\(f'(x) < 0 \Leftrightarrow 2x - 4 < 0 \Leftrightarrow x < 2\)
| \(x\) | \(-\infty\) | 2 | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | - | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | \(f(2)=-1\) | ↗ | \(+\infty\) |
\(f\) est décroissante sur \((-\infty; 2]\) et croissante sur \([2; +\infty)\)
\(f\) admet un minimum local (et global) en \(x = 2\) égal à \(f(2) = -1\)
\(f\) est décroissante sur \((-\infty; 2]\) et croissante sur \([2; +\infty)\), avec un minimum en \(x = 2\) valant \(-1\).
• Dérivation : \((x^n)' = nx^{n-1}\) et \((ax+b)' = a\)
• Signe de la dérivée : Donne le sens de variation de la fonction
• Extremum : Lorsque \(f'\) s'annule et change de signe
Point d'inflexion : Point où la convexité de la fonction change, souvent là où \(f''(x) = 0\).
\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)
\(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\)
\(f'(x) = 3x(x - 2)\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \text{ ou } x = 2\)
Pour étudier le signe, on fait un tableau de signes :
| \(x\) | \(-\infty\) | 0 | 2 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(3x\) | - | 0 | + | + | |||
| \(x-2\) | - | - | 0 | + | |||
| \(f'(x)\) | + | 0 | - | 0 | + |
\(f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2\)
\(f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2\)
| \(x\) | \(-\infty\) | 0 | 2 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | + | 0 | - | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | ↗ | 2 | ↘ | -2 | ↗ | \(+\infty\) |
\(f\) est croissante sur \((-\infty; 0]\), décroissante sur \([0; 2]\), puis croissante sur \([2; +\infty)\). Elle admet un maximum local en \(x = 0\) égal à 2 et un minimum local en \(x = 2\) égal à -2.
• Produit de facteurs : On étudie le signe de chaque facteur séparément
• Tableau de signes : Utile pour les expressions factorisées
• Extremums locaux : Points où la dérivée s'annule et change de signe
Fonction rationnelle : Quotient de deux polynômes. La dérivée s'obtient avec la formule \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).
\(f(x) = \frac{x}{x^2+1}\)
On pose \(u(x) = x\) et \(v(x) = x^2+1\)
Alors \(u'(x) = 1\) et \(v'(x) = 2x\)
\(f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\)
\(f'(x) = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\)
Le dénominateur \((x^2+1)^2 > 0\) pour tout \(x\)
Donc le signe de \(f'(x)\) est celui de \(1-x^2\)
\(1-x^2 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
\(1-x^2 > 0 \Leftrightarrow x^2 < 1 \Leftrightarrow -1 < x < 1\)
\(1-x^2 < 0 \Leftrightarrow x^2 > 1 \Leftrightarrow x < -1 \text{ ou } x > 1\)
\(f(-1) = \frac{-1}{(-1)^2+1} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}\)
\(f(1) = \frac{1}{1^2+1} = \frac{1}{2}\)
| \(x\) | \(-\infty\) | -1 | 1 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | - | 0 | + | 0 | - | ||
| \(f(x)\) | 0 | ↘ | \(-\frac{1}{2}\) | ↗ | \(\frac{1}{2}\) | ↘ | 0 |
\(f\) est décroissante sur \((-\infty; -1]\), croissante sur \([-1; 1]\), puis décroissante sur \([1; +\infty)\). Elle admet un minimum local en \(x = -1\) égal à \(-\frac{1}{2}\) et un maximum local en \(x = 1\) égal à \(\frac{1}{2}\).
• Dérivée d'un quotient : \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
• Signe d'une fraction : Dépend du signe du numérateur (dénominateur positif)
• Limites : \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0\) pour cette fonction rationnelle
Extremum local : Soit \(a\) un réel. On dit que \(f\) admet un maximum local (resp. minimum local) en \(a\) s'il existe un intervalle ouvert \(I\) contenant \(a\) tel que pour tout \(x \in I\), \(f(x) \leq f(a)\) (resp. \(f(x) \geq f(a)\)).
\(f(x) = x^4 - 2x^2 + 1\)
\(f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)\)
\(f'(x) = 4x(x-1)(x+1)\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \text{ ou } x = 1 \text{ ou } x = -1\)
Tableau de signes :
| \(x\) | \(-\infty\) | -1 | 0 | 1 | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(4x\) | - | - | 0 | + | + | ||||
| \(x-1\) | - | - | - | 0 | + | ||||
| \(x+1\) | - | 0 | + | + | + | ||||
| \(f'(x)\) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
\(f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0\)
\(f(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 1 = 1\)
\(f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0\)
| \(x\) | \(-\infty\) | -1 | 0 | 1 | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | 0 | ↗ | 1 | ↘ | 0 | ↗ | \(+\infty\) |
\(f\) admet des minimums locaux en \(x = -1\) et \(x = 1\) égaux à 0, et un maximum local en \(x = 0\) égal à 1.
• Factorisation : \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\) pour faciliter l'étude de signe
• Produit de trois facteurs : Étude du signe de chaque facteur
• Extremums multiples : Une fonction peut avoir plusieurs extremums locaux
Domaine de définition : Ensemble des réels \(x\) pour lesquels \(f(x)\) est défini. Pour une fraction rationnelle, il faut que le dénominateur soit non nul.
\(f(x) = \frac{x^2-1}{x}\) est définie sur \(\mathbb{R}^* = ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[\)
\(f(x) = \frac{x^2-1}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{1}{x} = x - \frac{1}{x}\)
\(f(x) = x - \frac{1}{x} = x - x^{-1}\)
\(f'(x) = 1 - (-1)x^{-2} = 1 + \frac{1}{x^2}\)
\(f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2}\)
Pour tout \(x \neq 0\), on a \(x^2 > 0\), donc \(\frac{1}{x^2} > 0\)
Par conséquent, \(f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2} > 1 > 0\)
La dérivée est strictement positive sur tout le domaine de définition.
| \(x\) | \(-\infty\) | 0 | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | + | + | |||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | ↗ | \(\parallel\) | ↗ | \(+\infty\) |
\(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \left(x - \frac{1}{x}\right) = 0 - (-\infty) = +\infty\)
\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(x - \frac{1}{x}\right) = 0 - (+\infty) = -\infty\)
\(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty; 0[\) et sur \(]0; +\infty[\). Elle n'admet aucun extremum car sa dérivée ne s'annule jamais.
• Domaine de définition : Toujours préciser avant d'étudier une fonction
• Simplification : Parfois utile pour faciliter les calculs
• Fonction sans extremum : Si \(f'\) ne s'annule jamais et garde un signe constant
- Étape 1 : Déterminer le domaine de définition de la fonction
- Étape 2 : Calculer la dérivée de la fonction
- Étape 3 : Étudier le signe de la dérivée (factoriser si nécessaire)
- Étape 4 : En déduire le sens de variation de la fonction
- Étape 5 : Dresser le tableau de variations complet
- Étape 6 : Identifier les extremums locaux et globaux
- Le signe de la dérivée détermine le sens de variation de la fonction
- Un extremum local se trouve là où la dérivée s'annule et change de signe
- Une fonction continue sur un segment admet un maximum et un minimum
- La dérivée d'une somme est la somme des dérivées
- Pour un produit, utiliser la formule : \((uv)' = u'v + uv'\)
- Pour un quotient, utiliser la formule : \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
- Maximum local : Valeur la plus grande dans un voisinage du point
- Minimum local : Valeur la plus petite dans un voisinage du point
- Maximum global : Valeur la plus grande sur tout l'intervalle de définition
- Minimum global : Valeur la plus petite sur tout l'intervalle de définition
