Lien Dérivée-Variations
Théorème : Signe de f' → variations de f
f'(x) > 0 \Rightarrow f \text{ croissante}
f'(x) < 0 \Rightarrow f \text{ décroissante}
Exemples :
f'(x) > 0 sur I ⇒ f strictement croissante sur I
f'(x) < 0 sur I ⇒ f strictement décroissante sur I
f'(x) = 0 ⇒ possible extremum
f'(x) < 0 sur I ⇒ f strictement décroissante sur I
f'(x) = 0 ⇒ possible extremum
Cas particuliers :
f'(x) ≥ 0 ⇒ f croissante
f'(x) ≤ 0 ⇒ f décroissante
f'(x) = 0 ∀x ∈ I ⇒ f constante
f'(x) ≤ 0 ⇒ f décroissante
f'(x) = 0 ∀x ∈ I ⇒ f constante
Extremums d'une Fonction
Maximum local: f'(a) = 0 et f' change de signe (+ → -)
Minimum local: f'(a) = 0 et f' change de signe (- → +)
Extremum global: comparaison avec toutes les valeurs
Point critique: f'(a) = 0
Méthode de Recherche
\text{1. Calculer } f'(x)
\text{2. Résoudre } f'(x) = 0
\text{3. Étudier le signe de } f'(x)
Théorème de Fermat : Si f admet un extremum local en a, alors f'(a) = 0 (si f est dérivable en a)
Conseils & Astuces
Toujours justifier le changement de signe
Vérifier les conditions d'application
Faire un tableau de variations complet
Comparer les extremums locaux pour global
Utiliser la dérivée pour optimiser
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Confondre extremum local et global
Erreur 2 :
Ne pas justifier le changement de signe
Erreur 3 :
Oublier de vérifier que f'(a) = 0 est un extremum
Tableau de Variations
Applications Pratiques
Optimisation :
• Maximiser une aire ou un volume
• Minimiser un coût ou une distance
• Problèmes d'optimisation en économie
• Minimiser un coût ou une distance
• Problèmes d'optimisation en économie
Étude de fonctions :
• Déterminer le sens de variation
• Trouver les extrema
• Analyser le comportement d'une fonction
• Trouver les extrema
• Analyser le comportement d'une fonction
