La solution d'un système d'inéquations correspond à l'intersection des solutions de chaque inéquation prise séparément.

Où Sᵢ est l'ensemble solution de la i-ème inéquation.

1 Résoudre chaque inéquation séparément
2 Exprimer chaque ensemble solution sous forme d'intervalle
3 Représenter graphiquement chaque intervalle sur une droite graduée
4 Trouver l'intersection de tous les intervalles
5 Donner la solution finale sous forme d'intervalle

Soit le système : { 2x - 3 > 1 et x + 4 ≤ 10 }

Étape 1 : Résolvons 2x - 3 > 1

Étape 2 : Résolvons x + 4 ≤ 10

Étape 3 : Intersection : ]2 ; +∞[ ∩ ]-∞ ; 6] = ]2 ; 6]

Solution finale : x ∈ ]2 ; 6]

Soit le système : { 3x - 1 ≥ 5 et 2x + 3 < 11 }

1. Résolvons 3x - 1 ≥ 5 :

2. Résolvons 2x + 3 < 11 :

3. Intersection : [2 ; +∞[ ∩ ]-∞ ; 4[ = [2 ; 4[

Solution : x ∈ [2 ; 4[

Soit le système : { 4x - 2 > 6 et x + 1 ≤ 8 }

1. Résolvons 4x - 2 > 6 :

2. Résolvons x + 1 ≤ 8 :

3. Intersection : ]2 ; +∞[ ∩ ]-∞ ; 7] = ]2 ; 7]

Solution : x ∈ ]2 ; 7]

1. Tracer une droite graduée horizontale

2. Représenter chaque intervalle solution au-dessus de la droite

3. L'intersection est la partie où TOUS les intervalles se recouvrent

Sur la droite graduée :

• Point fermé en 1 (inclus)
• Point ouvert en 5 (exclu)
• Segment entre 1 et 5

Solution : x ∈ [1 ; 5[

• [a ; b] : ensemble des x tels que a ≤ x ≤ b (bornes incluses)
• ]a ; b[ : ensemble des x tels que a < x < b (bornes exclues)
• [a ; b[ : ensemble des x tels que a ≤ x < b (a inclus, b exclu)
• ]a ; b] : ensemble des x tels que a < x ≤ b (a exclu, b inclus)

• [a ; +∞[ : ensemble des x tels que x ≥ a
• ]a ; +∞[ : ensemble des x tels que x > a
• ]-∞ ; b] : ensemble des x tels que x ≤ b
• ]-∞ ; b[ : ensemble des x tels que x < b

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des réels qui appartiennent à la fois au premier et au second intervalle.

Exemples :

• [1 ; 5] ∩ [3 ; 7] = [3 ; 5]
• ]2 ; 6[ ∩ [4 ; 8[ = [4 ; 6[
• ]1 ; 3] ∩ [5 ; 7] = ∅ (ensemble vide)

Un système est impossible (ou incompatible) si l'intersection des ensembles solutions est vide.

Exemple : { x > 5 et x < 2 }

Solution : S = ∅ (ensemble vide)

Exemple : { x ≥ 3 et x ≤ 3 }

Solution : x = 3

Une entreprise fabrique des articles dont le coût de fabrication est de 2€ pièce. Le prix de vente est de 5€ pièce. Pour que l'entreprise réalise un bénéfice compris entre 1000€ et 2000€, combien d'articles doit-elle vendre ?

Soit x le nombre d'articles vendus.

Bénéfice = Revenu - Coût = 5x - 2x = 3x

Condition : 1000 ≤ 3x ≤ 2000

Cela revient au système : { 3x ≥ 1000 et 3x ≤ 2000 }

Donc : x ∈ [334 ; 666] (nombre entier d'articles)

Soient a, b, c des réels :

• Si a < b, alors a + c < b + c (ajouter le même nombre)
• Si a < b et c > 0, alors ac < bc (multiplier par un positif)
• Si a < b et c < 0, alors ac > bc (multiplier par un négatif)

Lors de la résolution d'un système, chaque transformation doit être appliquée à toutes les inéquations du système.

Exemple : Soit le système { 2x + 1 < 7 et 3x - 2 ≥ 4 }

On peut soustraire 1 à la première inéquation et ajouter 2 à la deuxième :

Solution : x ∈ [2 ; 3[

1. Résolvons 3x - 2 > 7 :

2. Résolvons 2x + 5 ≤ 15 :

3. Intersection : ]3 ; +∞[ ∩ ]-∞ ; 5] = ]3 ; 5]

Solution : x ∈ ]3 ; 5]

1. Résolvons 4x - 1 ≥ 15 :

2. Résolvons x + 3 < 8 :

3. Intersection : [4 ; +∞[ ∩ ]-∞ ; 5[ = [4 ; 5[

Solution : x ∈ [4 ; 5[

1. Résolvons 2x + 3 < 11 :

2. Résolvons 5x - 4 ≥ 6 :

3. Intersection : ]-∞ ; 4[ ∩ [2 ; +∞[ = [2 ; 4[

Solution : x ∈ [2 ; 4[

• Oublier de changer le sens de l'inégalité lorsqu'on multiplie ou divise par un nombre négatif
• Confondre les intervalles ouverts et fermés
• Ne pas prendre en compte la conjonction "et" dans les systèmes

• Toujours tester sa solution dans les inéquations initiales
• Faire une représentation graphique pour visualiser l'intersection
• Vérifier que la solution vérifie bien TOUTES les inéquations du système

• Ensemble de plusieurs inéquations portant sur la même variable
• Solution = ensemble des valeurs qui satisfont SIMULTANÉMENT toutes les inéquations
• Correspond à l'intersection des ensembles solutions

• Résoudre chaque inéquation séparément
• Exprimer les solutions sous forme d'intervalles
• Représenter graphiquement les intervalles
• Trouver l'intersection des intervalles
• Donner la solution finale

• [] : borne incluse, ] [ : borne exclue
• Intersection : ∩, Ensemble vide : ∅
• Union : ∪ (non utilisé dans les systèmes)