Système d'inéquations : Ensemble d'inéquations qui doivent être satisfaites simultanément.
- Résoudre chaque inéquation séparément
- Représenter les solutions sur une droite graduée
- Identifier l'intersection des solutions
- Exprimer la solution finale
\( x \gt 2 \)
Solution : \( x \in ]2; +\infty[ \)
\( x \lt 5 \)
Solution : \( x \in ]-\infty; 5[ \)
La solution du système est l'intersection des deux solutions :
\( ]2; +\infty[ \cap ]-\infty; 5[ = ]2; 5[ \)
\( x \in ]2; 5[ \) ou \( 2 \lt x \lt 5 \)
• Pour un système d'inéquations, on cherche l'intersection des solutions
• L'intersection est l'ensemble des x qui satisfont toutes les inéquations
• On représente graphiquement pour visualiser l'intersection
Intervalle fermé : Les bornes sont incluses dans la solution.
\( x \geq -1 \)
Solution : \( x \in [-1; +\infty[ \)
\( x \leq 3 \)
Solution : \( x \in ]-\infty; 3] \)
La solution du système est l'intersection des deux solutions :
\( [-1; +\infty[ \cap ]-\infty; 3] = [-1; 3] \)
\( x \in [-1; 3] \) ou \( -1 \leq x \leq 3 \)
• Le symbole ≥ signifie borne incluse → point fermé ●
• Le symbole ≤ signifie borne incluse → point fermé ●
• L'intersection est l'intervalle entre les deux bornes incluses
Inéquations à résoudre : Il faut d'abord résoudre chaque inéquation.
\( 2x + 1 \gt 5 \)
\( 2x \gt 4 \)
\( x \gt 2 \)
Solution : \( x \in ]2; +\infty[ \)
\( x - 3 \lt 2 \)
\( x \lt 5 \)
Solution : \( x \in ]-\infty; 5[ \)
La solution du système est l'intersection des deux solutions :
\( ]2; +\infty[ \cap ]-\infty; 5[ = ]2; 5[ \)
\( x \in ]2; 5[ \) ou \( 2 \lt x \lt 5 \)
• On résout chaque inéquation séparément
• Puis on trouve l'intersection des solutions
• On conserve le sens des inégalités dans l'intersection
Combinaison d'inéquations : Une avec ≥ et une avec <.
\( 3x - 2 \geq 4 \)
\( 3x \geq 6 \)
\( x \geq 2 \)
Solution : \( x \in [2; +\infty[ \)
\( 2x + 1 \lt 9 \)
\( 2x \lt 8 \)
\( x \lt 4 \)
Solution : \( x \in ]-\infty; 4[ \)
La solution du système est l'intersection des deux solutions :
\( [2; +\infty[ \cap ]-\infty; 4[ = [2; 4[ \)
\( x \in [2; 4[ \) ou \( 2 \leq x \lt 4 \)
• ≥ signifie borne incluse → point fermé ●
• < signifie borne exclue → point ouvert ○
• L'intersection est [2; 4[ car 2 est inclus et 4 est exclu
Combinaison d'inéquations : Une avec > et une avec ≤.
\( x + 2 \gt 0 \)
\( x \gt -2 \)
Solution : \( x \in ]-2; +\infty[ \)
\( 3x - 1 \leq 8 \)
\( 3x \leq 9 \)
\( x \leq 3 \)
Solution : \( x \in ]-\infty; 3] \)
La solution du système est l'intersection des deux solutions :
\( ]-2; +\infty[ \cap ]-\infty; 3] = ]-2; 3] \)
\( x \in ]-2; 3] \) ou \( -2 \lt x \leq 3 \)
• > signifie borne exclue → point ouvert ○
• ≤ signifie borne incluse → point fermé ●
• L'intersection est ]-2; 3] car -2 est exclu et 3 est inclus
Coefficient négatif : Attention au changement de sens de l'inégalité.
\( -2x + 4 \lt 0 \)
\( -2x \lt -4 \)
Multiplier par -1/2 (changement de sens) : \( x \gt 2 \)
Solution : \( x \in ]2; +\infty[ \)
\( x + 1 \geq -2 \)
\( x \geq -3 \)
Solution : \( x \in [-3; +\infty[ \)
La solution du système est l'intersection des deux solutions :
\( ]2; +\infty[ \cap [-3; +\infty[ = ]2; +\infty[ \)
\( x \in ]2; +\infty[ \) ou \( x \gt 2 \)
• Multiplier par un nombre négatif change le sens de l'inégalité
• L'intersection est ]2; +∞[ car x doit être à la fois > 2 et ≥ -3
• La condition la plus restrictive prévaut
Fraction dans l'inéquation : Multiplier par le dénominateur pour éliminer la fraction.
\( \frac{x}{2} + 1 \geq 2 \)
\( \frac{x}{2} \geq 1 \)
\( x \geq 2 \)
Solution : \( x \in [2; +\infty[ \)
\( 3x - 4 \gt 5 \)
\( 3x \gt 9 \)
\( x \gt 3 \)
Solution : \( x \in ]3; +\infty[ \)
La solution du système est l'intersection des deux solutions :
\( [2; +\infty[ \cap ]3; +\infty[ = ]3; +\infty[ \)
\( x \in ]3; +\infty[ \) ou \( x \gt 3 \)
• Pour éliminer une fraction, on multiplie par le dénominateur
• L'intersection est ]3; +∞[ car x doit être à la fois ≥ 2 et > 3
• La condition la plus restrictive est x > 3
Parenthèses à développer : Distribuer le coefficient avant de résoudre.
\( 2(x - 1) \lt 4 \)
\( 2x - 2 \lt 4 \)
\( 2x \lt 6 \)
\( x \lt 3 \)
Solution : \( x \in ]-\infty; 3[ \)
\( 3x + 1 \geq 7 \)
\( 3x \geq 6 \)
\( x \geq 2 \)
Solution : \( x \in [2; +\infty[ \)
La solution du système est l'intersection des deux solutions :
\( ]-\infty; 3[ \cap [2; +\infty[ = [2; 3[ \)
\( x \in [2; 3[ \) ou \( 2 \leq x \lt 3 \)
• On développe les expressions avec parenthèses
• L'intersection est [2; 3[ car x doit être à la fois < 3 et ≥ 2
• On combine les deux conditions pour former l'intervalle
Inéquations simples : Résolution directe sans développement nécessaire.
\( x - 5 \lt 0 \)
\( x \lt 5 \)
Solution : \( x \in ]-\infty; 5[ \)
\( x + 3 \gt 1 \)
\( x \gt -2 \)
Solution : \( x \in ]-2; +\infty[ \)
La solution du système est l'intersection des deux solutions :
\( ]-\infty; 5[ \cap ]-2; +\infty[ = ]-2; 5[ \)
\( x \in ]-2; 5[ \) ou \( -2 \lt x \lt 5 \)
• On résout chaque inéquation séparément
• L'intersection est ]-2; 5[ car x doit être à la fois < 5 et > -2
• Les deux bornes sont exclues dans la solution finale
Combinaison d'inéquations : Une avec ≤ et une avec >.
\( 4x - 3 \leq 9 \)
\( 4x \leq 12 \)
\( x \leq 3 \)
Solution : \( x \in ]-\infty; 3] \)
\( 2x + 5 \gt 3 \)
\( 2x \gt -2 \)
\( x \gt -1 \)
Solution : \( x \in ]-1; +\infty[ \)
La solution du système est l'intersection des deux solutions :
\( ]-\infty; 3] \cap ]-1; +\infty[ = ]-1; 3] \)
\( x \in ]-1; 3] \) ou \( -1 \lt x \leq 3 \)
• ≤ signifie borne incluse → point fermé ●
• > signifie borne exclue → point ouvert ○
• L'intersection est ]-1; 3] car -1 est exclu et 3 est inclus
