Définition et Représentation Graphique des Vecteurs | Géométrie Plane Seconde
Introduction à la définition et à la représentation graphique des vecteurs
Découvrez les bases des vecteurs en géométrie plane
Définition d'un vecteur
Concept fondamental
Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par :
- Une direction (la droite support)
- Un sens (orientation sur la droite)
- Une norme (longueur du vecteur)
Un vecteur est souvent noté avec une flèche au-dessus : \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\overrightarrow{AB}\), etc.
Le vecteur nul, noté \(\vec{0}\), est le vecteur qui a une norme nulle.
Il est associé à une translation identique au point de départ.
Pour tout point A, \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\).
Caractéristiques d'un vecteur
Les trois éléments fondamentaux
La direction d'un vecteur est la direction de la droite sur laquelle il est tracé.
Deux vecteurs ont la même direction s'ils sont parallèles.
Par exemple, \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) ont la même direction si les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Le sens d'un vecteur est l'orientation du vecteur sur sa direction.
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) va du point A vers le point B.
Le vecteur \(\overrightarrow{BA}\) a la même direction mais un sens opposé.
La norme d'un vecteur est sa longueur.
La norme du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est notée \(\|\overrightarrow{AB}\|\).
Elle est égale à la distance AB.
Vecteurs égaux
Quand deux vecteurs sont égaux
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont :
- La même direction
- Le même sens
- La même norme
On dit alors qu'ils sont équipollents.
Deux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme.
Cela équivaut à dire que les diagonales [AD] et [BC] ont le même milieu.
Représentation graphique
Comment tracer un vecteur
- Placer le point origine du vecteur
- Tracer un segment dans la bonne direction
- Respecter le sens du vecteur (flèche)
- Respecter la norme (longueur du segment)
Le vecteur opposé à \(\vec{u}\) est le vecteur \(-\vec{u}\).
Il a la même direction et la même norme que \(\vec{u}\) mais un sens opposé.
Par exemple : \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\).
Applications concrètes
Utilisations pratiques
Les vecteurs permettent de :
- Calculer les coordonnées d'un point image
- Démontrer des propriétés de parallélogrammes
- Identifier des points alignés
- Représenter des déplacements
- 1 Dessin vectoriel et infographie
- 2 Déplacements dans les jeux vidéo
- 3 Calculs en physique (forces, vitesses)
- 4 Navigation et cartographie
Exercice d'application
Problème complet
Soit un quadrilatère ABCD avec A(1, 2), B(4, 1), C(6, 4) et D(3, 5).
1. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\).
2. Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\) sont-ils égaux ?
3. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
4. Calculer la norme du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
Solution de l'exercice
Correction détaillée
Soit A(1, 2) et B(4, 1).
Soit D(3, 5) et C(6, 4).
On a \(\overrightarrow{AB} = (3, -1)\) et \(\overrightarrow{DC} = (3, -1)\).
Donc \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).
Les vecteurs sont égaux car ils ont les mêmes coordonnées.
Puisque \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
En effet, si deux côtés opposés sont égaux, le quadrilatère est un parallélogramme.
La norme du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est :
La norme du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est \(\sqrt{10}\) unités.
Résumé
Points clés
- Un vecteur est caractérisé par une direction, un sens et une norme
- On le note avec une flèche au-dessus : \(\vec{u}\), \(\overrightarrow{AB}\)
- Le vecteur nul \(\vec{0}\) a une norme nulle
- Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme
- \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) si ABDC est un parallélogramme
- \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\)
- \(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\)
- \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\)
Conclusion
Félicitations !
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