Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par :
- Direction : droite support du vecteur
- Sens : orientation du vecteur
- Norme : longueur du vecteur
Le vecteur \( \overrightarrow{AB} \) est défini par le couple de points (A, B).
\( A(1, 2) \) et \( B(4, 6) \)
\( \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (4-1, 6-2) = (3, 4) \)
Le vecteur AB a pour coordonnées (3, 4).
Les coordonnées d'un vecteur \( \overrightarrow{AB} \) sont obtenues en soustrayant les coordonnées de l'origine A aux coordonnées de l'extrémité B.
\( \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \)
- Identifier les coordonnées de l'origine A(x_A, y_A)
- Identifier les coordonnées de l'extrémité B(x_B, y_B)
- Calculer x_B - x_A pour l'abscisse du vecteur
- Calculer y_B - y_A pour l'ordonnée du vecteur
\( C(0, 0) \), \( D(3, 1) \), \( E(2, 4) \)
\( \overrightarrow{CD} = (3-0, 1-0) = (3, 1) \)
\( \overrightarrow{CE} = (2-0, 4-0) = (2, 4) \)
Les vecteurs CD et CE n'ont pas la même direction car les coordonnées ne sont pas proportionnelles.
\( \frac{3}{2} \neq \frac{1}{4} \), donc les droites (CD) et (CE) ne sont pas parallèles.
Les vecteurs CD et CE n'ont pas la même direction.
Deux vecteurs ont la même direction si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
Si \( \vec{u}(x_1, y_1) \) et \( \vec{v}(x_2, y_2) \) ont la même direction, alors \( \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} \) (si \( x_2 \neq 0 \) et \( y_2 \neq 0 \)).
- Calculer les coordonnées des deux vecteurs
- Vérifier si les coordonnées sont proportionnelles
- Comparer les rapports des coordonnées
\( F(2, 3) \), \( G(5, 3) \), \( H(1, 1) \), \( I(4, 1) \)
\( \overrightarrow{FG} = (5-2, 3-3) = (3, 0) \)
\( \overrightarrow{HI} = (4-1, 1-1) = (3, 0) \)
Les vecteurs FG et HI ont les mêmes coordonnées, donc ils sont égaux.
Les vecteurs FG et HI sont égaux car ils ont les mêmes coordonnées (3, 0).
Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées.
Égalité des vecteurs : \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Leftrightarrow x_B - x_A = x_D - x_C \) et \( y_B - y_A = y_D - y_C \)
- Calculer les coordonnées du premier vecteur
- Calculer les coordonnées du second vecteur
- Comparer les couples de coordonnées
- Si les couples sont identiques, les vecteurs sont égaux
Le vecteur opposé de \( \vec{u} \) est noté \( -\vec{u} \).
Si \( \vec{u}(x, y) \), alors \( -\vec{u}(-x, -y) \).
\( -\overrightarrow{JK} = \overrightarrow{KJ} \)
\( J(1, 1) \) et \( K(4, 5) \)
\( \overrightarrow{JK} = (4-1, 5-1) = (3, 4) \)
\( -\overrightarrow{JK} = (-3, -4) \)
Le vecteur -JK a pour coordonnées (-3, -4).
Le vecteur opposé d'un vecteur a les mêmes direction et norme, mais un sens opposé.
Ses coordonnées sont les opposées de celles du vecteur initial.
- Calculer les coordonnées du vecteur initial
- Changer le signe de chaque coordonnée
- Le résultat est le vecteur opposé
Un quadrilatère LMNO est un parallélogramme si et seulement si :
\( \overrightarrow{LM} = \overrightarrow{ON} \) ou \( \overrightarrow{LO} = \overrightarrow{MN} \)
\( L(3, 2) \), \( M(6, 2) \), \( N(1, 4) \), \( O(4, 4) \)
\( \overrightarrow{LM} = (6-3, 2-2) = (3, 0) \)
\( \overrightarrow{ON} = (1-4, 4-4) = (-3, 0) \)
\( \overrightarrow{LO} = (4-3, 4-2) = (1, 2) \)
\( \overrightarrow{MN} = (1-6, 4-2) = (-5, 2) \)
On vérifie : \( \overrightarrow{LM} \neq \overrightarrow{ON} \) et \( \overrightarrow{LO} \neq \overrightarrow{MN} \)
Donc LMNO n'est pas un parallélogramme.
LMNO n'est pas un parallélogramme car les côtés opposés ne sont pas égaux.
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
Autrement dit, les vecteurs associés aux côtés opposés sont égaux.
- Calculer les vecteurs des côtés opposés
- Vérifier s'ils sont égaux
- Si oui, c'est un parallélogramme
Soit \( \vec{u}(x_1, y_1) \) et \( \vec{v}(x_2, y_2) \). Alors :
\( \vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \)
Relation de Chasles : \( \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR} \)
\( P(0, 0) \), \( Q(2, 1) \), \( R(5, 3) \)
\( \overrightarrow{PQ} = (2-0, 1-0) = (2, 1) \)
\( \overrightarrow{QR} = (5-2, 3-1) = (3, 2) \)
\( \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = (2, 1) + (3, 2) = (5, 3) \)
Vérification : \( \overrightarrow{PR} = (5-0, 3-0) = (5, 3) \)
Le vecteur PQ + QR a pour coordonnées (5, 3).
L'addition de vecteurs se fait coordonnée par coordonnée.
La relation de Chasles permet de simplifier les sommes de vecteurs : \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \).
- Calculer les coordonnées de chaque vecteur
- Additionner les abscisses ensemble, les ordonnées ensemble
- Appliquer la relation de Chasles si applicable
La norme d'un vecteur \( \vec{u}(x, y) \) est sa longueur, notée \( ||\vec{u}|| \).
\( ||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2} \)
\( S(1, 2) \) et \( T(4, 6) \)
\( \overrightarrow{ST} = (4-1, 6-2) = (3, 4) \)
\( ||\overrightarrow{ST}|| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
La norme du vecteur ST est 5.
La norme d'un vecteur est la distance entre son origine et son extrémité.
Elle se calcule avec la formule de Pythagore : \( ||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2} \).
- Calculer les coordonnées du vecteur
- Appliquer la formule de la norme
- Simplifier l'expression
\( U(2, 1) \), \( V(5, 4) \), \( W(3, 6) \)
\( \overrightarrow{UV} = (5-2, 4-1) = (3, 3) \)
\( \overrightarrow{VW} = (3-5, 6-4) = (-2, 2) \)
Les vecteurs UV et VW n'ont pas le même sens car leurs coordonnées ne sont pas de même signe.
UV pointe vers le nord-est, VW pointe vers le nord-ouest.
Les vecteurs UV et VW n'ont pas le même sens.
Le sens d'un vecteur dépend de la direction dans laquelle il pointe.
Deux vecteurs ont le même sens si leurs coordonnées sont de même signe.
- Calculer les coordonnées des deux vecteurs
- Observer le signe des coordonnées
- Comparer les directions et orientations
\( X(1, 1) \) et \( Y(4, 5) \)
\( \overrightarrow{YX} = (1-4, 1-5) = (-3, -4) \)
\( \overrightarrow{XZ} = \overrightarrow{YX} \Rightarrow \overrightarrow{XZ} = (-3, -4) \)
Soit \( Z(x_Z, y_Z) \), alors \( \overrightarrow{XZ} = (x_Z-1, y_Z-1) = (-3, -4) \)
\( x_Z - 1 = -3 \Rightarrow x_Z = -2 \)
\( y_Z - 1 = -4 \Rightarrow y_Z = -3 \)
Le point Z a pour coordonnées (-2, -3).
Quand deux vecteurs sont égaux, leurs coordonnées sont identiques.
On peut résoudre l'équation vectorielle pour trouver les coordonnées du point inconnu.
- Calculer les coordonnées du vecteur connu
- Exprimer le vecteur inconnu en fonction des coordonnées du point à trouver
- Résoudre l'équation vectorielle
La somme des vecteurs formant les côtés orientés d'un polygone fermé est nulle.
\( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0} \)
\( A(0, 0) \), \( B(3, 0) \), \( C(3, 2) \), \( D(0, 2) \)
\( \overrightarrow{AB} = (3, 0) \)
\( \overrightarrow{BC} = (0, 2) \)
\( \overrightarrow{CD} = (-3, 0) \)
\( \overrightarrow{DA} = (0, -2) \)
\( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = (3, 0) + (0, 2) + (-3, 0) + (0, -2) = (0, 0) \)
\( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0} \).
La somme des vecteurs formant un polygone fermé est toujours nulle.
Ceci découle de la relation de Chasles appliquée à un cycle complet.
- Calculer chaque vecteur du polygone
- Additionner tous les vecteurs dans l'ordre
- Le résultat est toujours le vecteur nul
